Đề bài

c) \(1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\quad ({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

Phương pháp giải

Bước 1: Viết \(\cot \alpha \) dưới dạng \(\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\), thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:  \(\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\;\;\;({0^o} < \alpha  < {180^o})\)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)

Mà theo ý a) ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc \(\alpha \)

\( \Rightarrow 1 + {\cot ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) (đpcm)