Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương
trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó đề lợi nhuận thu được là lớn nhất.
a)
Bước 1: Lập bảng thể hiện vốn và lợi nhuận của mỗi loại máy.
Bước 2: Dựa vào các điều kiện sau để lập bất phương trình:
+ Số lượng là số tự nhiên.
+ Điều kiện vốn ban đầu.
+ Nhu cầu hàng tháng.
Bước 3: Xác định miền nghiệm.
b) Lợi nhuận hàng tháng bằng lợi nhuận bán x máy loại A và y máy loại B.
c)
Bước 1: Xác định giá trị của F tại các điểm thuộc miền đa giác biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a.
Bước 2: Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các số tìm được ở bước 1.
a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là \(x\) (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là \(y\) (máy).
Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy nên \(x + y \le 250\).
Vì mỗi chiếc máy tính loại A có giá 10 triệu và mỗi máy tính loại B có giá 20 triệu nên tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B là \(10x + 20y\) (triệu đồng).
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên \(10x + 20y \le 4000\) hay \(x + 2y \le 400\).
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 250\\x + 2y \le 400\end{array} \right.\).
Ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:
- Miền nghiệm \(D_1\) của bất phương trình \(x \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(Oy\) chứa điểm \((1;0)\).
- Miền nghiệm \(D_2\) của bất phương trình \(y \ge 0\) là nửa mặt phẳng bờ \(Ox\) chứa điểm \((0;1)\).
- Xác định miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(x + y \le 250\).
+ Vẽ đường thẳng \(d: x + y = 250\).
+ Vì \(0 + 0 = 0 < 250\) nên tọa độ điểm \(O(0;0)\) thỏa mãn bất phương trình \(x + y \le 250\).
Do đó miền nghiệm \(D_3\) của bất phương trình \(x + y \le 250\) là nửa mặt phẳng bờ \(d\) chứa gốc tọa độ.
- Xác định miền nghiệm \(D_4\) của bất phương trình \(x + 2y \le 400\).
+ Vẽ đường thẳng \(d’: x + 2y = 400\).
+ Vì \(0 + 2.0 = 0 < 400\) nên tọa độ điểm \(O(0;0)\) thỏa mãn bất phương trình \(x + 2y < 400\).
Do đó miền nghiệm \(D_4\) của bất phương trình \(x + 2y < 400\) là nửa mặt phẳng bờ \(d’\) chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là tứ giác OABC với \(O(0;0)\), \(A(0; 200)\), \(C(100;150)\), \(B(250;0)\).
b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: \(F(x;y) = 2,5x + 4y\) (triệu đồng).
c) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của \(F(x;y)\) với \((x;y)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 250\\x + 2y \le 400\end{array} \right.\).
Người ta đã chứng minh được, giá trị \(F(x; y)\) lớn nhất tại \((x; y)\) là tọa độ của một trong bốn đỉnh \(O\), \(A\), \(B\), \(C\).
Tại \(O(0; 0)\), ta có: \(F(0; 0) = 2,5 . 0 + 4 . 0 = 0\);
Tại \(A(0; 200)\), ta có: \(F(0; 200) = 2,5 . 0 + 4 . 200 = 800\);
Tại \(B(100; 150)\), ta có: \(F(100; 150) = 2,5 . 100 + 4 . 150 = 850\);
Tại \(B(250; 0)\), ta có: \(F(250; 0) = 2,5 . 250 + 4 . 0 = 625\).
Do đó \(F(x;y)\) lớn nhất bằng \(850\) tại \(x = 100\) và \(y = 150\).
Vậy cửa hàng cần đầu tư kinh doanh 100 máy A và 150 máy B.
Quy hoạch tuyến tính
Đây là một phương pháp toán học được sử dụng để tìm giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) của một hàm mục tiêu tuyến tính, chịu sự ràng buộc bởi một hệ bất phương trình hoặc phương trình tuyến tính.
Phương pháp giải:
– Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
– Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập bất phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng, biểu thị điều kiện đề bài đưa ra trong một tình huống nào đó… Giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất của biểu thức P(x;y) = ax + by (b ≠ 0) trên miền đa giác lồi (kể cả biên) đạt được tại một đỉnh nào đó của đa giác.
Danh sách bình luận