Đề bài

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a, \(\frac{{5\pi }}{{12}}\)

b, \(-{\rm{ }}{555^0}\)

Phương pháp giải

Áp dụng công thức

\(\begin{array}{l}\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos asinb\\sin\left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos asinb\\\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin asinb\\\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin asinb\\\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}}\\\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a\tan b}}\end{array}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a, Ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \cos \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{sin\frac{{5\pi }}{{12}}}}{{cos\frac{{5\pi }}{{12}}}} = 2 + \sqrt 3 \)

\(\cot \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{{\tan \frac{{5\pi }}{{12}}}} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}\)

b, Ta có:

\(\cos ( - {555^o}) = \cos {555^o} = \cos \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right)\)

\(\begin{array}{l} =  - \cos \frac{\pi }{{12}} =  - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ =  - \left( {\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

Ta có:

\(\sin ( - {555^o}) = \sin \left( { - 3\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}= sin\frac{\pi }{{12}} = sin\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}\)

\(\tan \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{{\sin \left( { - {{555}^0}} \right)}}{{\cos \left( { - {{555}^0}} \right)}} =  - 2 + \sqrt 3 \)

\(\cot \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{1}{{ - 2 + \sqrt 3 }} =  - 2 - \sqrt 3 \)