Đề bài

Cho \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB\) và \(AC\) của tứ diện \(ABC{\rm{D}}\). Xác định vị trí tương đối của các đường thẳng \(BC,AD\) và \(EF\) với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

Phương pháp giải

Dựa vào số điểm chung của đường thẳng và mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

‒ Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}B \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\C \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BC \subset \left( {BC{\rm{D}}} \right)\)

Vậy đường thẳng \(BC\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

‒ Đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) có một điểm chung duy nhất \(D\) nên đường thẳng \(AD\) cắt mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) tại \(D\).

‒ Ta có: \(E\) là trung điểm của \(AB\)

\(F\) là trung điểm của \(AC\)

\( \Rightarrow EF\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\)

\( \Rightarrow EF\parallel BC\)

Nếu \(EF\) có điểm chung \(O\) với mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) thì \(O\) thuộc giao tuyến \(BC\) của hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\), suy ra \(EF\) cắt \(BC\) (mâu thuẫn với chứng minh \(EF\parallel BC\) ở trên). Vậy \(EF\parallel \left( {BCD} \right)\).