Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(B{\rm{D}}\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(I,J\) và cắt hai cạnh \(AC\) và \(A{\rm{D}}\) lần lượt tại \(M\) và \(N\).

a) Chứng minh \(IJNM\) là một hình thang.

b) Tìm vị trí của điểm \(M\) dễ \(IJNM\) là hình bình hành.

Phương pháp giải

Sử dụng định lí 2: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(I\) là trung điểm của \(BC\)

\(J\) là trung điểm của \(B{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow IJ\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)

\( \Rightarrow IJ\parallel CD,IJ = \frac{1}{2}C{\rm{D}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}IJ = \left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( P \right)\\MN = \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( P \right)\\C{\rm{D}} = \left( {AC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\IJ\parallel C{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(IJ\parallel MN\parallel C{\rm{D}}\).

Vậy \(IJNM\) là hình thang.

b) Để \(IJNM\) là hình bình hành thì \(IJ = MN\).

Mà \(IJ = \frac{1}{2}CD\) nên \(MN = \frac{1}{2}CD\).

Khi đó \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ACD\).

\( \Rightarrow M\) trung điểm của AC.