Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{1 + x}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\{5 - x}&{khi\,\,2 < x \le 3}\end{array}} \right.$ có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm ${x_0} = 1$ và ${x_0} = 2$, có tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng $f\left( {{x_0}} \right)$ không?

Phương pháp giải

Bước 1: Tính các giới hạn một bên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$.

Bước 2: So sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$

                • Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right) = L$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L$.

                • Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } {\rm{ }}f\left( x \right)$ thì không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 1 = 2$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 1 = 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)$.

• $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {1 + x} \right) = 1 + 2 = 3$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right) = 3$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 3$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = 1 + 2 = 3$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.