Đề bài

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\)

a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\)

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\)

Phương pháp giải

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b\) thì

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a,

\(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2.\frac{{n + 1}}{n}} \right) = \lim 2.\lim \left( {1 + \frac{1}{n}} \right) = 2.\left( {1 + 0} \right) = 2\)

b) Lấy dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = 2{x_n}.\)

 \(\lim f\left( {{x_n}} \right) = \lim \left( {2{x_n}} \right) = \lim 2.\lim {x_n} = 2.1 = 2\)