Đề bài

Cho hai dãy số $\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)$ với ${u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.$ Tính các giới hạn sau:

a) $\lim {u_n},\lim {v_n}.$

b) $\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.$

Phương pháp giải

Sử dụng định lí về giới hạn hữu hạn kết hợp với một số giới hạn cơ bản.

Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0$, kí hiệu $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a$ hay ${u_n} \to a$ khi  $n \to  + \infty$ hay $\lim {u_n} = a$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) $\begin{array}{l}\lim {u_n} = \lim \left( {3 + \frac{1}{n}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{n} = 3 + 0 = 3\\\lim {v_n} = \lim \left( {5 - \frac{2}{{{n^2}}}} \right) = \lim 5 - \lim \frac{2}{{{n^2}}} = 5 - 0 = 5\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \lim {u_n} + \lim {v_n} = 3 + 5 = 8\\\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = 3 - 5 =  - 2\\\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = \lim {u_n}.\lim {v_n} = 3.5 = 15\\\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{\lim {u_n}}}{{\lim {v_n}}} = \frac{3}{5}\end{array}$