Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.

b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Phương pháp giải

- Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) hay \({u_n} \to a\)khi  \(n \to  + \infty \)hay \(\lim {u_n} = a\).

- Công thức tính tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(\left| q \right| = \left| {\frac{1}{2}} \right| < 1\)

b) \(\begin{array}{l}{S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\\ \Rightarrow \lim {S_n} = \lim \left[ {2 - 2.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}} \right] = \lim 2 - 2\lim {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n} = 2\end{array}\)