Đề bài

Chứng minh rằng dãy số \((u_n)\) với \(u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4}\) là bị chặn.

Phương pháp giải

Dựa vào kiến thức về dãy số bị chặn để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} < \frac{1}{2}.\frac{n^2+1}{n^2+2} < \frac{1}{2}.(1- \frac{1}{n^2+2}) < \frac{1}{2}\).

Ta lại có: \(u_n = \frac{n^2+1}{2n^2+4} > 0\)

Do đó \(0 < u_n < \frac{1}{2}\).

Vì vậy dãy số \((u_n)\) bị chặn.

Xem thêm : SGK Toán 11 - Cánh diều

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Chứng minh rằng dãy số \({u_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \ldots + \frac{1}{{n(n + 1)}}\) tăng và bị chặn trên.

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi \({s_n}\) (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

\( s_1 = 200, s_n = s_{n-1} +25\) với \(n \ge 2\)

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh \(\left( {{s_n}} \right)\) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), với \({u_n} = 2n - 1\).

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\;\forall \;n\; \in {N^*}\)

a) So sánh \({u_n}\) và 1.

b) So sánh \({u_n}\) và 2.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 3n - 1\). Tính \({u_{n + 1}}\) và so sánh với \({u_n}\).

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính \({v_{n + 1}}\) và so sánh với \({v_n}\).

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \({u_n} = 2n - 1\);

b) \({u_n} = - 3n + 2\);

c) \({u_n} = \frac{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{2^n}\)

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) \({u_n} = n - 1\);

b) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);

c) \({u_n} = sin\;n\;\);

d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{n^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Chứng minh rằng dãy số \((v_n)\) với \(v_n = \frac{1}{3^x}\) là một dãy số giảm.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2}\). Tính \({u_{n + 1}}\). Từ đó hãy so sánh \({u_{n + 1}}\) và \({u_n}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\). Khẳng định \({u_n} \le 2\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) có đúng không?

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:

a) \({u_n} = \frac{{n - 3}}{{n + 2}}\)

b) \({u_n} = \frac{{{3^n}}}{{{2^n}.n!}}\)

c) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}\left( {{2^n} + 1} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Chứng minh rằng:

a) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = {n^2} + 2\) là bị chặn dưới;

b) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = - 2n + 1\) là bị chặn trên;

c) Dãy số \(u_n\) với \({u_n} = \frac{1}{{{n^2} + n}}\) là bị chặn

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho dãy số dương \(\left( {{u_n}} \right)\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng khi và chỉ khi \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1\) với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
A. \({u_n} = \sin n\)
B. \({u_n} = n{\left( { - 1} \right)^n}\)
C. \({u_n} = \frac{1}{n}\)
D. \({u_n} = {2^{n + 1}}\)

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi \({u_1} = 25\) là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, \({u_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi \({v_1} = 14\) là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, \({v_n}\) là số cột gỗ có ở hàng thứ \(n\) tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\);

b) \(\left( {{x_n}} \right)\) với \({x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}\);

c) \(\left( {{t_n}} \right)\) với \({t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hai dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_n}} \right)\) được xác định như sau: \({a_n} = 3n + 1;\) \({b_n} = - 5n\).

a) So sánh \({a_n}\) và \({a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

b) So sánh \({b_n}\) và \({b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = \cos \frac{\pi }{n}\);

b) \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\). So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) với \({y_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = {\sin ^2}\frac{{n\pi }}{3} + \cos \frac{{n\pi }}{4}\);

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{6n - 4}}{{n + 2}}\)

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}\).

Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng và bị chặn.

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}\). Tìm giá trị của \(a\) để:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng;

b) \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\). Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng và bị chặn.

B. Dãy số giảm và bị chặn.

C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.

D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Xét tính bị chặn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho dãy số \(({u_n})\) biết \({u_n} = n + \frac{1}{n}\). Tìm m để dãy số \(({u_n})\) bị chặn dưới bởi m.

Xem lời giải >>