Đề bài

Một bảng giá cước taxi được cho như sau:

Giá mở cửa (0.5 km đầu)	Giá cước các km tiếp theo đến 30 km	Giá cước từ km thứ 31
10 000 đồng	13 500 đồng	11 000 đồng

a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.

b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.

Phương pháp giải

a) Dựa vào đề bài để viết công thức hàm số.

b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a,b} \right]\) nếu nó liên tục trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi x là số km quãng đường hành khách di chuyển.

a) \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000x}&{khi}&{0 < x \le 0,5}\\{10000 + 13500\left( {x - 0,5} \right)}&{khi}&{0,5 < x \le 30}\\{10000 + 13500.29,5 + 11000\left( {x - 30} \right)}&{khi}&{x > 30}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000x}&{khi}&{0 < x \le 0,5}\\{135000x + 3250}&{khi}&{0,5 < x \le 30}\\{11000x + 78250}&{khi}&{x > 30}\end{array}} \right.\).

b) Với \(0 < x \le 0,5\)thì \(y = 10000\) là hàm hằng nên nó liên tục trên \((0;0,5)\).

Với \(0,5 < x < 30\) thì \(y = 13500x + 3250\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \((0,5;30)\).

Với  \(0,5 < x < 30\) thì \(y = 11000x + 78250\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \((30; + \infty )\).

Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0,5\), \(x = 30\).

+) Tại \(x = 0,5\) ta có \(f(0,5) = 10000\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} 10000 = 10000\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} (13500x + 3250) = 13500.0,5 + 3250 = 10000\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,{5^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0,5} f(x) = f(0,5)\).

Do đó, hàm số liên tục tại \(x = 0,5\).

+) Tại \(x = 30\) ta có \(f(30) = 13500.30 + 3250\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} (11000x + 78250) = 11000.30 + 78250 = 408250\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} (13500x + 3250) = 13500.30 + 3250 = 408250\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{30}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 30} f(x) = f(30)\).

Do đó, hàm số liên tục tại \(x = 30\).

Vậy hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).