Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\)

a) Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\)

b) Cho dãy số \({x_n} = 2 + \frac{{1}}{n}\). Rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tính giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = f\left( {{x_n}} \right)\)

c) Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\), tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)

Phương pháp giải

Giả sử \(\left( {a,b} \right)\) là một khoảng chứa điểm \({x_0}\) và hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a,b} \right)\), có thể trừ điểm \({x_0}\). Ta nói hàm số \(f\left( x \right)\) có giới hạn là số L khi x dần tới \({x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_0}} \right)\) bất kì, , ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L,\) ký hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) hay  khi \(x \to {x_0}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(D = \mathbb{R}/\left\{ 2 \right\}\;\)

b) \(x_n = 2 + \frac{{1}}{n} = \frac{2n+1}{n}\)

\(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - {{\left( {\frac{{2n + 1}}{4}} \right)}^2}}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}} = \frac{{ - \left( {\frac{{2n + 1}}{n} - 2} \right)\left( {\frac{{2n + 1}}{n} + 2} \right)}}{{\frac{{2n + 1}}{n} - 2}} =  - \frac{{2n + 1}}{n} - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {x_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( { - \frac{{2n + 1}}{n} - 2} \right) =  - 4\)

c) \(f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{4 - x_n^2}}{{{x_n} - 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) =  - 4\).