Đề bài

Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \) \(\frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Phương pháp giải

Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\) thì \(L \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \frac{{x - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to 1} \left( {\sqrt x + 1} \right) = 2\).

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho a, b là các số nguyên và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}} = 20\). Tính \(P = {a^2} + {b^2}\).

A.
125
B.
225
C.
525
D.
325

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f(x) - 5}}{{x - 4}} = 5\). Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt {6f(x) + 6} + 4} \right)}}\)

A.
-2
B.
-1
C.
2
D.
3

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\)

a) Cho \({x_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1+ \frac{{1}}{n}\). Tính \({y_n} = f\left( {{x_n}} \right)\) và \({y'_n} = f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

b) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) và \(\left( {{{y'}_n}} \right)\)

c) Cho các dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) và \(\left( {{{x'}_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 1 < x{'_n}\) và \({x_n} \to 1,\;\;\;x{'_n} \to 1\), tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{4 - {x^2}}}{{x - 2}}\)

a) Tìm tập xác định của hàm số \(f\left( x \right)\)

b) Cho dãy số \({x_n} = 2 + \frac{{1}}{n}\). Rút gọn \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tính giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = f\left( {{x_n}} \right)\)

c) Với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} \ne 2\) và \({x_n} \to 2\), tính \(f\left( {{x_n}} \right)\) và tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 4}}{x}\);

b) \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 0} \) \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 9} - 3}}{{{x^2}}}\)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho hàm số \(H(t) = \left\{ \begin{array}{l}0,t < 0\\1,t \ge 0\end{array} \right.\) (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thười điểm t = 0).

Tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to {0^ + }} H\left( t \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0^-} \;H\left( t \right).\)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\left| {x - 2} \right|}}\)

Tìm \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ + }} g\left( x \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to {2^ - }} g\left( x \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x - {x^2}}}{{\left| x \right|}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + {0^ + }} f\left( x \right)\) bằng

A. 0

B. 1

C. \( + \infty \)

D. -1

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Chứng minh rằng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left| x \right|}}{x}\) không tồn tại.

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {4^ + }} \left( {\sqrt {x + 4} + x} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 1,\,\,x < 0\\0,\,\,x = 0\\1,\,\,x > 0\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{u_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{u_n}} \right).\)

b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Xác định \(f\left( {{v_n}} \right)\) và tìm \(\lim f\left( {{v_n}} \right).\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right)} \right];\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {{x^2} + x + 3} .\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 1,g\left( x \right) = x + 1.\)

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

b) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

c) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

d) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]\)và so sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right).\)

e) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\)và so sánh \(\frac{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)}}.\)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {x^2} = 4.\)

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x.\)

a) Xét dãy số \(\left( {{x_n}} \right),\) với \({x_n} = 1 + \frac{1}{n}.\) Hoàn thành bảng giá trị \(f\left( {{x_n}} \right)\) tương ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),...\) lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là \(\left( {f\left( {{x_n}} \right)} \right).\) Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right).\)

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì \(\left( {{x_n}} \right),{x_n} \to 1\) ta luôn có \(f\left( {{x_n}} \right) \to 2.\)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Biết rằng hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 5.\) Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) hay không? Giải thích.

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right);\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x - 3}};\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}.\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {4{x^2} - 5x + 6} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} - 5x + 2}}{{x - 2}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt x - 2}}{{{x^2} - 16}}\).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {2{x^2} - x} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}}\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 2}}{{x - 1}}\).

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi \(x\) càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, \(M\) là điểm trên đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\); \(H\) và \(P\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) trên trục hoành và trục tung. Khi điểm \(H\) thay đổi gần về điểm \(\left( {1;0} \right)\) trên trục hoành thì điểm \(P\) thay đổi như thế nào?

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho hai hàm số và \(y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\).

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì thoả mãn \({x_n} \ne - 1\) với mọi \(n\) và \({x_n} \to 1\) khi \(n \to + \infty \). Tìm giới hạn \(\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]\).

b) Từ đó, tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]\), và so sánh với \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2x}&{khi\,\,x \le - 1}\\{{x^2} + 2}&{khi\,\,x > - 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị cung cấp được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giả cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}6&{khi\,\,x \in \left( {0;1} \right]}\\7&{khi\,\,x \in \left( {1;2,5} \right]}\\{10}&{khi\,\,x \in \left( {2,5;5} \right]}\end{array}} \right.\)

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử \(\left( {{x_n}} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \(x \in \left( {1;2,5} \right)\) và \(\lim {x_n} = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}} \right)\).

b) Giả sử \(\left( {{x_n}'} \right)\) là dãy số bất kì sao cho \({x_n}' \in \left( {0;1} \right)\) và \(\lim {x_n}' = 1\). Tìm \(\lim f\left( {{x_n}'} \right)\).

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b)

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} - 7x + 4} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 9}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{3 - \sqrt {x + 8} }}{{x - 1}}\)

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - {x^2}}&{khi\,\,x < 1}\\x&{khi\,\,x \ge 1}\end{array}} \right.\).

Tìm các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {\rm{ }}f\left( x \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\) (nếu có).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}}\) bằng:

A. 0.

B. 6.

C. 3.

D. 1.

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {3{x^2} - x + 2} \right)\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{3 - \sqrt {x + 7} }}{{x - 2}}\)

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left( {8 + 3x - {x^2}} \right)\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {5x - 1} \right)\left( {2 - 4x} \right)} \right]\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {10 - 2{x^2}} \).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{1 - x}}\);

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}}\);

d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2 - \sqrt {x + 6} }}{{x + 2}}\);

e) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{\sqrt {x + 1} - 1}}\);

g) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} - 4}}\).

Xem lời giải >>