Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}\)

a) Cho \({x_n} = 1 -  \frac{1}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1+ \frac{{1}}{n}\). Tính \({y_n} = f\left( {{x_n}} \right)\) và \({y'_n} = f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

b) Tìm giới hạn của các dãy số \(\left( {{y_n}} \right)\) và \(\left( {{{y'}_n}} \right)\)

c) Cho các dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) và \(\left( {{{x'}_n}} \right)\) bất kì sao cho \({x_n} < 1 < x{'_n}\) và \({x_n} \to 1,\;\;\;x{'_n} \to 1\), tính \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right)\) và \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{{x'}_n}} \right)\)

Phương pháp giải

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {{x_0};b} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên phải của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \({x_0} < {x_n} < b\) và \({x_n} \to {x_0}\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\). Ta nói số L là giới hạn bên trái của \(f\left( x \right)\) khi \(x \to {x_0}\) nếu với dãy số \(\left( {{x_n}} \right)\) bất kì thỏa mãn \(a < {x_n} < {x_0}\) và \({x_n} \to {x_0},\) ta có \(f\left( {{x_n}} \right) \to L\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a, \({x_n} = 1 -  \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\) và \({x'_n} = 1+ \frac{{1}}{n} = \frac{{n + 1}}{n}\)

Với \({x_n} = \frac{n}{{n + 1}} \Rightarrow {y_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right|}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}}\)

Do \(n < n + 1 \Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} < 1 \Rightarrow \frac{n}{{n + 1}} - 1 < 0\)

\( \Rightarrow {y_n} = \frac{{ - \left( {\frac{n}{{n + 1}} - 1} \right)}}{{\frac{n}{{n + 1}} - 1}} =  - 1\)

Với \(x{'_n} = \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow y{'_n} = f\left( {{x_n}} \right) = \frac{{\left| {\frac{{n + 1}}{n} - 1} \right|}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}\)

Do \(n + 1 > n \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} > 1 \Rightarrow \frac{{n + 1}}{n} - 1 > 0\)

\({y_n} = \frac{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}}{{\frac{{n + 1}}{n} - 1}} = 1\)

b) \(\lim \left( {{y_n}} \right) = \lim \left( { - 1} \right) =  - 1\)

\(\lim \left( {{{y'}_n}} \right) = \lim 1 = 1\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{x_n}} \right) =  - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f(x{'_n}) = 1\).