Đề bài

Tính tổng \(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{7^2}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots \).

Phương pháp giải

Dựa vào công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(S = 2 + \frac{2}{7} + \frac{2}{{49}} + \ldots + \frac{2}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots = 2 \times \left( {1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{{49}} + \ldots + \frac{1}{{{7^{n - 1}}}} + \ldots } \right) = 2 \times \frac{1}{{1 - \frac{1}{7}}} = \frac{7}{3}\).

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Rút gọn \(S = 1 + {\cos ^2}x + {\cos ^4}x + {\cos ^6}x + .... + {\cos ^{2n}}x + ...\) với \(\cos x \ne \pm 1\).

A.
\(S = {\sin ^2}x\)
B.
\(S = {\cos ^2}x\)
C.

\(S = \frac{1}{{\sin^2 x}}\)
D.
\(S = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tính tổng sau: \(S = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{27}} + ... + {\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)^{n - 1}} + ...\)

A.
\(S = \frac{1}{4}\).
B.
\(S = \frac{1}{3}\).
C.
\(S = \frac{3}{4}\).
D.
\(S = \frac{2}{3}\).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100km.h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu a = 100(km)

a) Tính thời gian \({t_1},\;{t_2}, \ldots ,{t_n}, \ldots \) tương ứng để Achilles đi từ \({A_1}\) đến \({A_2}\), từ \({A_2}\) đến \({A_3}\),…, từ \({A_n}\) đến \({A_{n + 1}}\),…

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường \({A_1}{A_2},\;{A_2}{A_3}, \ldots ,\;{A_n}{A_{n + 1}}\),… tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó ô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \({u_1},\;{u_2}, \ldots ,\;{u_n}, \ldots \) lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

a) Tính tổng \({S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n}\)

b) Tìm \(S = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {S_n}\)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số

a) 1, (12) = 1, 121212…; b) 3, (102) = 3, 102102102…

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\). Tổng của cấp số nhân này bằng

A. 3

B. 2

C. 1

D. 6

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng trong trường hợp sau: Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát rùa ở điểm \(A_1\) cách Achilles 100km.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tính tổng \(M = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} - ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + ...\)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = 1\) và công bội \(q = \frac{1}{2}.\)

a) So sánh \(\left| q \right|\) với 1.

b) Tính \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}.\) Từ đó, hãy tính \(\lim {S_n}.\)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_1} = \frac{2}{3},q = - \frac{1}{4}.\)

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính \(R\left( {cm} \right)\) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính \(\frac{R}{2}\) rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính \(\frac{R}{4}\) rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn.

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(1 + \frac{1}{3} + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + ... + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^n} + ...\).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa hình còn lại và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích \({u_k}\) của phần hình được tô màu lần thứ \(k\left( {k = 1,2,3,...} \right)\).

b) Tính tổng diện tính \({S_n}\) của phần hình được tô màu sau lần tô thứ \(n\left( {n = 1,2,3,...} \right)\).

c) Tìm giới hạn \(\lim {S_n}\) và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) \( - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...\)

b) \(\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...\)

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn \(0,444...\) dưới dạng một phân số.

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \(M = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^n}}} + ...\) bằng:

A. \(\frac{3}{4}\).

B. \(\frac{5}{4}\).

C. \(\frac{4}{3}\).

D. \(\frac{6}{5}\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn:

a) \(1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{{{5^2}}} - \frac{1}{{{5^3}}} + ... + {\left( { - \frac{1}{5}} \right)^n} + ...\)

b) \(2 + \frac{{{2^2}}}{3} + \frac{{{2^3}}}{{{3^2}}} + ... + \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}} + ...\)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau thành phân số:

a) \(0,\left( 7 \right) = 0,777...\);

b) \(1,\left( {45} \right) = 1,454545...\)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Tại một nhà máy, người ta đo được rằng 80% lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Với \(100{m^3}\) ban đầu được sử dụng lần đầu tại nhà máy, khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là bao nhiêu?

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Tam giác \(O{A_1}{A_2}\) vuông cân tại \({A_2}\) có cạnh huyền \(O{A_1}\) bằng a. Bên ngoài tam giác \(O{A_1}{A_2}\), vẽ tam giác \(O{A_2}{A_3}\) vuông cân tại \({A_3}\). Tiếp theo, bên ngoài tam giác \(O{A_2}{A_3}\), vẽ tam giác \(O{A_3}{A_4}\) vuông cân tại \({A_4}\). Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta vẽ được một dãy các hình tam giác vuông cân (Hình 2). Tính độ dài đường gấp khúc \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}...\)

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho tam giác OMN vuông cân tại O, \(OM = ON = 1\). Trong tam giác OMN, vẽ hình vuông \(O{A_1}{B_1}{C_1}\) sao cho các đỉnh \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt nằm trên các cạnh OM, MN, ON. Trong tam giác \({A_1}M{B_1}\), vẽ hình vuông \({A_1}{A_2}{B_2}{C_2}\) sao cho các đỉnh \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt nằm trên các cạnh \({A_1}M,M{B_1},{A_1}{B_1}\). Tiếp tục quá trình đó, ta được một dãy các hình vuông (Hình 3). Tính tổng diện tích các hình vuông này.

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Từ một tam giác đều có diện tích bằng 1, ta thực hiện lần lượt các bước như sau:

Bước 1: Nối trung điểm các cạnh của tam giác đã cho, chia tam giác này thành 4 tam giác nhỏ và bỏ đi tam giác ở giữa (bỏ đi 1 tam giác có diện tích \(\frac{1}{4}\)).

Bước 2: Làm tương tự bước 1 với mỗi tam giác trong 3 tam giác còn lại (bỏ đi 3 tam giác, mỗi tam giác có diện tích \(\frac{1}{{{4^2}}}\))

Cứ tiếp tục quá trình như vậy (ở bước thứ n, bỏ đi \({3^{n - 1}}\) tam giác, mỗi tam giác có diện tích \(\frac{1}{{{4^n}}}\)). Tính tổng diện tích các tam giác đã bỏ đi.

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Biết rằng, từ vị trí A, một mũi tên bay với tốc độ 10m/s hướng thẳng tới bia mục tiêu đặt ở vị trí B cách vị trí A một khoảng bằng 10m (Hình 2). Một nhà thông thái lập luận như sau: “Để đến được B, trước hết mũi tên phải đến trung điểm \({A_1}\) của AB. Tiếp theo, nó phải đến trung điểm \({A_2}\) của \({A_1}B\). Tiếp nữa, nó phải đi đến trung điểm \({A_3}\) của \({A_2}B\). Cứ tiếp tục như vậy, vì không bao giờ hết các trung điểm nên mũi tên không thể đến được mục tiêu ở B”.

Lập luận trên có đúng không? Nếu không, hãy chỉ chỗ ra sai lầm.

Xem lời giải >>

Bài 24 :

a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = \frac{5}{4}\), \(q = - \frac{1}{3}\).

b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn \(2,\left( 3 \right)\) dưới dạng phân số.

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Biểu diễn dưới dạng phân số của \(1,\left( 7 \right)\) là:

A. \(\frac{7}{9}\)

B. \(\frac{{10}}{9}\)

C. \(\frac{{10}}{3}\)

D. \(\frac{{16}}{9}\)

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho tam giác \({T_1}\) có diện tích bằng 1. Giả sử có tam giác \({T_2}\) đồng dạng với tam giác \({T_1}\), tam giác \({T_3}\) đồng dạng với tam giác \({T_2}\), …, tam giác \({T_n}\) đồng dạng với tam giác \({T_{n - 1}}\) với tỉ số đồng dạng \(\frac{1}{k}{\rm{ }}\left( {k > 1} \right)\). Khi \(n\) tiến tới vô cùng, tính tổng diện tích của tất cả các tam giác theo \(k\).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Tính tổng \(S = - 1 + \frac{1}{5} - \frac{1}{{{5^2}}} + ... + {\left( { - 1} \right)^n}\frac{1}{{{5^{n - 1}}}} + ...\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) 1,(03);

b) 3,(23).

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Cho tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) có diện tích là 3 (đơn vị diện tích). Dựng tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) bằng cách nối các trung điểm của các cạnh \({B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1}.\) Tiếp tục quá trình này, ta có các tam giác \({A_3}{B_3}{C_3},...,{A_n}{B_n}{C_n},...\) Kí hiệu \({s_n}\) là diện tích của tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\).

a) Tính \({s_n}\).

b) Tính tổng \({s_1} + {s_2} + ... + {s_n} + ...\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Tính tổng \(S = - \frac{2}{3} + \frac{2}{9} - \frac{2}{{27}} + ... + {( - 1)^n}.\frac{2}{{{3^n}}} + ...\)

A. \(S = \frac{1}{2}\)

B.\(S = - \frac{1}{2}\)

C.\(S = - 3\)

D. \(S = 3\).

Xem lời giải >>