Đề bài

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 2 + \frac{1}{n},\;\;\;{v_n} = 3 - \frac{2}{n}\)

Tính và so sánh: \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)

Phương pháp giải

Tính \({u_n} + {v_n} \) và dùng công thức \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty }\frac{1}{n}=0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \({u_n} + {v_n} = 2 + \frac{1}{n} + 3 - \frac{2}{n} = 5 - \frac{1}{n}\)

Do đó: \(\left( {{u_n} + {v_n}} \right)\; = 5\)

\({u_n}\; = 2\), \({v_n}\; = 3\)

Vậy \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n}\)

Xem thêm : SGK Toán 11 - Kết nối tri thức

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hai dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({u_n} = \frac{1}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{2}{{n + 2}}\). Khi đó \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) có giá trị bằng

A.
1
B.
2
C.
0
D.
3

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tìm \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {2{n^2} + 1} }}{{n + 1}}\).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho hai dãy số không âm \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}};\;\)

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt n \). Mệnh đề đúng là

A. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = - \infty \)

B. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\)

C. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = + \infty \)

D. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 0\)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho \({u_n} = \frac{{2 + {2^2} + \ldots + {2^n}}}{{{2^n}}}\). Giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng

A. 1

B. 2

C. -1

D. 0

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tính chất \(\left| {{u_n} - 1} \right| < \frac{2}{n}\). Có kết luận gì về giới hạn của dãy số này?

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Tìm giới hạn của các dãy số sau:

a) \({u_n} = \frac{{{n^2}}}{{3{n^2} + 7n - 2}}\);

b) \({v_n} = \mathop \sum \limits_{k = 0}^n \frac{{{3^k} + {5^k}}}{{{6^k}}}\);

c) \({w_n} = \frac{{\sin n}}{{4n}}\)

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{8{n^2} + n}}{{{n^2}}};\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4 + {n^2}} }}{n}.\)

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 8 + \frac{1}{n};{v_n} = 4 - \frac{2}{n}.\)

a) Tính \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)

b) Tính \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tổng \(\lim {u_n} + \lim {v_n}.\)

c) Tính \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right)\) và so sánh giá trị đó với tích \(\left( {\lim {u_n}} \right).\left( {\lim {v_n}} \right).\)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 3 + \frac{1}{n};{v_n} = 5 - \frac{2}{{{n^2}}}.\) Tính các giới hạn sau:

a) \(\lim {u_n},\lim {v_n}.\)

b) \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right),\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right),\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}.\)

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 3n}}{{{n^2} + 1}}\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} }}{n}\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Ở trên ta đã biết \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2}}} = 3\).

a) Tìm các giới hạn \(\lim 3\) và \(\lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

b) Từ đó, nêu nhận xét về \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\) và \(\lim 3 + \lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim {u_n} = 2,\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = 4\). Tìm \(\lim \frac{{3{u_n} - {v_n}}}{{{u_n}{v_n} + 3}}\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b\). Phát biểu nào sau đây là SAI?

A. \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b\)

B. \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = a - b\)

C. \(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b\)

D. \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{{a - b}}{b}\)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

B. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

C. Nếu \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\).

D. Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) và \(\lim {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a \).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho \(\lim {u_n} = 2\), \(\lim {v_n} = 3\). Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right)\) bằng:

A. 6

B. 5

C. 1

D. 2

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho \(\lim {u_n} = 3\), \(\lim {v_n} = + \infty \). Khi đó, \(\lim \frac{{{v_n}}}{{{u_n}}}\) bằng:

A. \(3\)

B. \( - \infty \)

C. \( + \infty \)

D. \(0\)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({u_n} = 1 - \frac{2}{n}\), \({v_n} = 4 + \frac{2}{{n + 2}}\).

Khi đó, \(\lim \left( {{u_n} + \sqrt {{v_n}} } \right)\) bằng:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hai dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)và \(\left( {{v_n}} \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = b \in \mathbb{R}\). Xét các khẳng định sau:

(1) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = 1 + b\)

(2) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = b\)

(3) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = b\)

(4) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{b}\).

Số khẳng định đúng là:

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho hai dãy $\left( {{u_n}} \right)$ và $\left( {{v_n}} \right)$ thỏa mãn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = - 2.$ Giá trị của $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n}.{v_n}} \right)$ bằnga

A.

$ - 1.$
B.

1.
C.

$ - \frac{1}{4}.$
D.

$\frac{1}{4}.$

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\lim \left( {4 + {u_n}} \right) = 3\). Giá trị của \(\lim \left( {{u_n}} \right)\) bằng

A.

-1
B.

1
C.

7
D.

3

Xem lời giải >>