Đề bài

Cho tam giác ABC có \(\hat B = {75^o}\); \(\hat C = {45^o}\) và \(a = BC = 12\) cm.

a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\) cho bởi công thức \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\).

b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.

Phương pháp giải

Áp dụng định lí sin.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Rightarrow b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\) thay vào \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) ta có:

\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm).

b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^o} \Rightarrow \hat A = {180^o} - {75^o} - {45^o} = {60^o}\).

\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} \)

\(= \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}\)

\(= \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3 \).