Không dùng máy tính, tính \(\cos \frac{\pi }{8}\).
Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}a = \frac{{1 + \cos 2a}}{2}\).
Ta có: \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\).
Vì \(\cos \frac{\pi }{8} > 0\) nên suy ra \(\cos \frac{\pi }{8} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \).
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai:
Bài 2 :
Biểu thức \(\frac{{{{\cos }^3}x\sin x - {{\sin }^3}x\cos x}}{{\sin 4x}}\) không phụ thuộc x và bằng:
Bài 3 :
Cho \(\sin \left( \alpha \right) + \cos \left( \alpha \right) = \frac{5}{4}\), khi đó \(\sin \left( {2\alpha } \right)\) có giá trị bằng:
Bài 4 :
Tính giá trị của biểu thức \(B = \frac{{2{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right) - 1}}{{1 + 8{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right){{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{8}} \right)}}\).
Bài 5 :
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: \(\sin 2a;\cos 2a;\tan 2a\).
Bài 6 :
Tính \(\sin 2a,\cos 2a,\tan 2a,\;\)biết:
a) \(\sin a = \frac{1}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \pi \);
b) \(\sin a + \cos a = \frac{1}{2}\) và \(\frac{\pi }{2} < a < \frac{{3\pi }}{4}\).
Bài 7 :
Cho góc bất kì \(\alpha \). Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha ;\;\)
b) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha .\)
Bài 8 :
Tính \(\sin \frac{\pi }{8};\cos \frac{\pi }{8}\)
Bài 9 :
Cho \(\tan \frac{\alpha }{2} = - 2\). Tính \(\tan \alpha \)
Bài 10 :
Tính \(\sin 2a,\,\,\cos 2a,\,\,\tan 2a\) bằng cách thay \(b = a\) trong công thức cộng.
Bài 11 :
Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{ \sin 2x }}{{1+ \cos 2x }} \)
Bài 12 :
Nếu \(\cos a = \frac{1}{4}\) thì \(\cos 2a\) bằng:
A.\(\frac{7}{8}\)
B.\( - \frac{7}{8}\)
C.\(\frac{{15}}{{16}}\)
D.\( - \frac{{15}}{{16}}\)
Bài 13 :
Tính \(\cos \frac{\pi }{8}\) và \(\tan \frac{\pi }{8}\)
Bài 14 :
Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp β = α và tính các giá trị lượng giác của góc 2α.
Bài 15 :
Khẳng định nào sau đây đúng?
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}{\rm{cos}}a\)
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2030{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\)
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}a{\rm{cos}}a\)
\({\rm{sin}}\left( {2030a} \right) = 2{\rm{sin}}\left( {1015a} \right){\rm{.cos}}\left( {1015a} \right)\)
Bài 16 :
Khẳng định nào sau đây đúng?
$\sin \left( {2024a} \right) = 2024\sin \left( {1012a} \right)\cos \left( {1012a} \right)$
$\sin \left( {2024a} \right) = 2\sin \left( {1012a} \right)\cos \left( {1012a} \right)$
Bài 17 :
Chứng minh đẳng thức sau
\({\sin ^4}a + {\cos ^4}a = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4a\).
Bài 18 :
Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A. \(\sin 2a = 2\sin a\cos a\).
B. \(\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a\).
C. \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a\).
D. \(\tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 + \tan a}}\).
Bài 19 :
Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\sin 2\alpha = \frac{2}{3}$. Tính $P = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha $.
$P = \frac{9}{7}$
Bài 20 :
Nếu \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) thì giá trị của biểu thức \(P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right)\) bằng:
A. \(\frac{{11}}{9}\)
B. \(\frac{{12}}{9}\)
C. \(\frac{{13}}{9}\)
D. \(\frac{{14}}{9}\)
Bài 21 :
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4}\)
B. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4}\)
C. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2}\)
D. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2}\)
Bài 22 :
Cho \(\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\).
a) Chứng minh rằng \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}\).
b) Tính \(\sin 2\alpha \).
Bài 23 :
Cho \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?
A. \(\sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
B. \(\cos 2\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{9}\)
C. \(\cot \alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
D. \(\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)
Bài 24 :
Cho $\cos x + \sin x \ne 0$. Rút gọn biểu thức $P = \frac{{2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \sin x}}$ ta được
Bài 25 :
Giả sử các đẳng thức đều có nghĩa. Đẳng thức sai trong các đẳng thức sau là
$\tan 2a = \frac{{2{{\tan }^2}a}}{{1 - \tan a}}$.
$\sin a + \cos a = \sqrt 2 \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right)$.
Bài 26 :
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
\(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).
Bài 27 :
\( - \frac{{20}}{{27}}.\)
Bài 28 :
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{1}{2}.\) Giá trị của \(P = \cos 2\alpha \) là
\(P = \frac{2}{3}.\)
Bài 29 :
Cho góc $\alpha $ thỏa mãn $\cos \alpha = \frac{3}{5}$. Giá trị của $P = \cos 2\alpha $ là
Bài 30 :
Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\cos\alpha = \dfrac{2}{3}$ với $\dfrac{- \pi}{2} < \alpha < 0.$ Tính $\sin 2\alpha.$
$\dfrac{2\sqrt{5}}{9}.$
$\dfrac{- 2\sqrt{5}}{9}.$
$\dfrac{4\sqrt{5}}{9}$.
$\dfrac{- 4\sqrt{5}}{9}.$
Danh sách bình luận