Đề bài

Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, chứng minh rằng:

a) $\frac{{4x}}{{9y}} = \frac{{12{x^2}{y^3}}}{{27x{y^4}}}$

b)$\frac{{x + 2}}{{x - 3}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 9}}$

c) $\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x + 4}}$

d)$\frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = x + y$

Phương pháp giải

Ta sử dụng khái niệm hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức $\frac{A}{B},\frac{C}{D}$ được gọi là bằng nhau kí hiệu: $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

$\begin{array}{l}12{x^2}{y^3}.9y = 108{x^2}{y^4}\\27x{y^4}.4x = 108{x^2}{y^4}\end{array}$

$\Rightarrow \frac{{12{x^2}{y^3}}}{{27x{y^4}}} = \frac{{4x}}{{9y}}\left( {dpcm} \right)$

b) Ta có: $\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right).\left( {x - 3} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)$

 $\Rightarrow \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\left( {dpcm} \right)$

c) Ta có:

 $\begin{array}{l}\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) = {x^3} + 4{x^2} - 3{x^2} - 12x + 2x + 8 = {x^3} + {x^2} - 10x + 8;\\\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = {x^3} + 3{x^2} - 4x - 2{x^2} - 6x + 8 = {x^3} + {x^2} - 10x + 8\end{array}$

Vậy $\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x + 4}}\left( {dpcm} \right)$

d) Ta có: ${x^3} + {y^3} = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)$

 $\Rightarrow \frac{{{x^3} + {y^3}}}{{{x^2} - xy + {y^2}}} = x + y\left( {dpcm} \right)$