Đề bài

Đổi biến \(x = 4\sin t\) của tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt 8 } {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \) ta được:

• A. \(I =  - 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt} \)  
• B. \(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \)
• C. \(I = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\sin }^2}tdt} \)      
• D. \(I = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 - \cos 2t} \right)dt} \)

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(x = u\left( t \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = a'\\x = b \Rightarrow t = b'\end{array} \right.\).

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế \(dx = u'\left( t \right)dt\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx = f\left( {u\left( t \right)} \right).u'\left( t \right)dt = g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm theo công thức \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(x = 4\sin t \Rightarrow dx = 4\cos tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \sqrt 8  \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = 4\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sqrt {16 - 16{{\sin }^2}t} \cos tdt}  = 16\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}tdt}  = 8\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)d} t\)

Đáp án : B

Chú ý

Một số em tính vi phân sai có thể dẫn đến chọn nhầm đáp án A.