Đề bài

Biến đổi \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x{{\left( {\ln x + 2} \right)}^2}}}dx} \) thành \(\int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt} \) với \(t = \ln x + 2\). Khi đó \(f\left( t \right)\) là hàm nào trong các hàm số sau?

• A. \(f\left( t \right) = \dfrac{2}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{t}\)
• B. \(f\left( t \right) =  - \dfrac{1}{{{t^2}}} + \dfrac{2}{t}\)
• C. \(f\left( t \right) = \dfrac{2}{{{t^2}}} + \dfrac{1}{t}\)          
• D. \(f\left( t \right) =  - \dfrac{2}{{{t^2}}} + \dfrac{1}{t}\)

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi  thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt \(t = \ln x + 2 \Rightarrow dt = \dfrac{{dx}}{x}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = e \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{t - 2}}{{{t^2}}}dt}  = \int\limits_2^3 {f\left( t \right)dt}  \Rightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{t - 2}}{{{t^2}}} = \dfrac{1}{t} - \dfrac{2}{{{t^2}}}\)

Đáp án : D

Chú ý

Một số em tính được \(f\left( t \right) = \dfrac{{t - 2}}{{{t^2}}}\) nhưng khai triển nhầm thành \(f\left( t \right) = \dfrac{2}{{{t^2}}} - \dfrac{1}{t}\) và chọn nhầm đáp án A.