Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CK. Chứng minh tứ giác BKEC là hình thang cân.

Phương pháp giải

Chứng minh BKEC là hình thang có \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Do BE là phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2}\)

CK là phân giác của \(\widehat {ACB}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \frac{{\widehat {ACB}}}{2}\)

Mà: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(1)\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)

suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\)

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AKC\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)

AB = AC

nên \(\Delta AEB = \Delta AKC(g.c.g)\)

Do đó AE = AK, suy ra \(\Delta AEK\) cân tại A

nên \(\widehat {AEK} = \widehat {AKE} = \frac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}(2)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(\widehat {ABC} = \widehat {AKE} \Rightarrow KE//BC\) (2 góc đơn vị)

Suy ra BKEC là hình thang (3)

Từ (1), (3) suy ra BKEC là hình thang cân.