Đề bài

Thực hiện phép tính:

a) \(\dfrac{{4{{x}} + 2}}{{4{{x  -  4}}}} + \dfrac{{3 - 6{{x}}}}{{6{{x}} - 6}}\)

b) \(\dfrac{y}{{2{{{x}}^2} - xy}} + \dfrac{{4{{x}}}}{{{y^2} - 2{{x}}y}}\)

c) \(\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)

d) \(\dfrac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - x}}\)

Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu, khác mẫu và phân thức đối để thực hiện các phép tính.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(\dfrac{{4{{x}} + 2}}{{4{{x  -  4}}}} + \dfrac{{3 - 6{{x}}}}{{6{{x}} - 6}} \)
\(= \dfrac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{4\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{6\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 1 + 1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\)

b) \(\dfrac{y}{{2{{{x}}^2} - xy}} + \dfrac{{4{{x}}}}{{{y^2} - 2{{x}}y}} \)
\(= \dfrac{y}{{x\left( {2{{x}} - y} \right)}} + \dfrac{{4{{x}}}}{{y\left( {y - 2{{x}}} \right)}}\\ = \dfrac{y}{{x\left( {2{{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{{x}}}}{{y\left( {2{{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{xy\left( {2{{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{{{x}}^2}}}{{xy\left( {2{{x}} - y} \right)}}\\ = \dfrac{{{y^2} - 4{{{x}}^2}}}{{xy\left( {2{{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{\left( {y - 2{{x}}} \right)\left( {y + 2{{x}}} \right)}}{{ - xy\left( {y - 2{{x}}} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {y + 2{{x}}} \right)}}{{xy}}\)

c) \(\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\)
\( = \dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + xy + {{yx}} - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + 2{{x}}y + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}\)

d) \(\dfrac{{x{}^2 + 2}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - x}}\)
\( = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 2 + {x^2} - x - {x^2} - x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - 2{{x}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)