Đề bài

Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {e^{2x + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 2{e^{2x + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Phương pháp giải

Tính đạo hàm \(F'\left( x \right)\) và so sánh với \(f\left( x \right)\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {{e^{2x + 1}}} \right)' = 2{e^{2x + 1}} = f\left( x \right)\), nên \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\).

Xem thêm : SGK Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) và \(F\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + x\), với \(x \in \mathbb{R}\).

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tìm \(\int {{x^3}dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 3 :

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + C\) (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên \(\mathbb{R}\) không? Vì sao?

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?

a) \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + \ln x\);

b) \(G\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \ln x\).

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) + G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right)\) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx\) và \(\int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} } \).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh rằng kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về \(\int {kf\left( x \right)dx} \) và \(k\int {f\left( x \right)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) \(F\left( x \right) = x\ln x\) và \(f\left( x \right) = 1 + \ln x\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) \(F\left( x \right) = {e^{\sin x}}\) và \(f\left( x \right) = {e^{\cos x}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm t giây (coi \(t = 0\) là thời điểm viên đạn được bắn lên), vận tốc của nó được cho bởi \(v\left( t \right) = 160 - 9,8t\left( {m/s} \right)\). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất).

a) Sau \(t = 5\) giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) là

A. \(F\left( x \right) = 2\cos 2x\).

B. \(F\left( x \right) = - \cos 2x\).

C. \(F\left( x \right) = \frac{1}{2}\cos 2x\).

D. \(F\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{2}\cos 2x\).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(f\left( 1 \right) = 16\) và \(\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} = 4\). Khi đó, giá trị của f(3) bằng

A. 20.

B. 16.

C. 12.

D. 10.

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho hàm số \(F(x) = {x^3} - 1,x \in \mathbb{R}\)và \(G(x) = {x^3} + 5,x \in \mathbb{R}\)

a) Cả hai hàm số F(x) và G(x) có phải nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 3{x^2}\) trên \(\mathbb{R}\) hay không?

b) Hiệu F(x) - G(x) có phải là một hằng số C (không phụ thuộc vào x) hay không?

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho hàm số \(F(x) = {x^3}\), \(x \in ( - \infty ; + \infty )\). Tính \(F'(x)\)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Hàm số \(F(x) = {x^3} + 5\) là nguyên hàm của hàm số:

A. \(f(x) = 3{x^2}\)

B. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x + C\)

C. \(f(x) = \frac{{{x^4}}}{4} + 5x\)

D. \(f(x) = 3{x^2} + 5x\)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2x\) xác định trên \(\mathbb{R}\). Tìm một hàm số \(F\left( x \right)\) sao cho \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\).

a) Chứng minh rằng \(F\left( x \right) = {x^3}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Với \(C\) là hằng số tuỳ ý, hàm số \(H\left( x \right) = F\left( x \right) + C\) có là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\) không?

c) Giả sử \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Tìm đạo hàm của hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\). Từ đó, có nhận xét gì về hàm số \(G\left( x \right) - F\left( x \right)\)?

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho \(f\left( x \right)\) là hàm số có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

a) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f'\left( b \right)-f'\left( a \right)\).

b) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f\left( b \right)-f\left( a \right)\).

c) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f'\left( a \right)-f'\left( b \right)\).

d) \(\int\limits_{a}^{b}{f''\left( x \right)dx}=f\left( a \right)-f\left( b \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d.

Cho \(K\) là một khoảng trên \(\mathbb{R}\); \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(K\); \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right)\) trên \(K\).

a) Nếu \(F\left( x \right) = G\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\).

b) Nếu \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) thì \(F\left( x \right) = G\left( x \right)\).

c) \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\).

d) \(\int {f'\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C,C \in \mathbb{R}\).

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).

Xem lời giải >>

Bài 19 :

a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Xem lời giải >>

Bài 20 :

a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.

Xem lời giải >>

Bài 21 :

a) Chứng minh hàm số \(F(x) = {e^x} + 3\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\).

b) Chứng minh hàm số \(F(x) = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {2^x}\).

Xem lời giải >>

Bài 22 :

a) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3}\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln \left| x \right|\)trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) \(x{e^x}\) và \((x - 1){e^x}\);

b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Tìm hàm số \(f(x)\), biết một nguyên hàm của \(f(x)\) là:

a) \(F(x) = x\sin x + \sqrt 2 \)

b) \(F(x) = {e^x} - \sqrt x \)

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(K\) nếu

A.

\(F'\left( x \right) = - f\left( x \right),\forall x \in K\).
B.

\(f'\left( x \right) = F\left( x \right),\forall x \in K\).
C.

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right),\forall x \in K\).
D.

\(f'\left( x \right) = - F\left( x \right),\forall x \in K\).

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số nào sau đây trên khoảng \((0; + \infty )\)?

A.

\(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}\)
B.

\(f(x) = - \frac{1}{x}\)
C.

\(f(x) = \frac{1}{x}\)
D.

\(f(x) = - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Hàm số \(F(x) = 2{x^9} + 1945\) là nguyên hàm của hàm số

A.

\(f(x) = 18{x^8}\)
B.

\(f(x) = 18{x^8} + 1945\)
C.

\(f(x) = 18{x^8} + C\)
D.

\(f(x) = \frac{{{x^{10}}}}{5} + 1945x\)

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Hàm số F(x) = cos3x là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây?

A.

\(f(x) = 3\sin 3x\)
B.

\(f(x) = \sin {x^2}\)
C.

\(f(x) = - 3\sin 3x\)
D.

\(f(x) = - \frac{1}{3}\sin 3x\)

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng K nếu

A.

F’(x) = -f(x), \(\forall x \in K\)
B.

f’(x) = F(x), \(\forall x \in K\)
C.

F’(x) = f(x), \(\forall x \in K\)
D.

f’(x) = -F(x), \(\forall x \in K\)

Xem lời giải >>