Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thoi

b) Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), lấy điểm \(O\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(OM\). Chứng minh rằng hai tam giác  \(AOB\) và \(MBO\) bằng nhau

c) Chứng minh tứ giác \(AEMF\) là hình thoi

Phương pháp giải

a) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

b) Sử dụng tính chất của tam giác cân, chứng minh \(AM\) vuông góc với \(BC\). Chứng minh \(OAMB\) là hình bình hành

Chứng minh \(OB\) // \(AM\)

Chứng minh \(\Delta AOB = \Delta MBO\) (hai tam giác vuông)

c) Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác \(ABDC\) có:

\(M\) là trung điểm của \(BC\) (gt)

\(M\) là trung điểm của \(AD\) (do \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(BC\))

Suy ra \(ABDC\) là hình bình hành

Ta có tam giác ABC là tam giác cân nên AB = AC.

Suy ra \(ABDC\) là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau)

b) Do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), có \(AM\) là trung tuyến (gt)

Suy ra \(AM\) là đường cao, trung trực, phân giác

Suy ra \(AM\) vuông góc \(BM\) và \(CM\)

Xét tứ giác \(OAMB\) ta có:

\(E\) là trung điểm của \(OM\) và \(AB\) (gt)

Suy ra \(OAMB\) là hình bình hành

Suy ra \(OB\) // \(AM\); \(OA\) // \(MB\); \(OA = BM\); \(OB = AM\)

Mà \(AM \bot BM\) (cmt)

Suy ra: \(AM \bot OA\); \(OB \bot MB\)

Mà \(AM\) // \(OB\) (cmt)

Suy ra \(OB \bot OA\)

Xét \(\Delta AOB\) và \(\Delta MBO\) (các tam giác vuông) ta có:

\(\widehat {{\rm{AOB}}} = \widehat {{\rm{OBM}}} = 90^\circ \)

\(AO = MB\) (cmt)

\(OB = AM\) (cmt)

Suy ra \(\Delta AOB = \Delta MBO\) (c-g-c)

Suy ra \(OM = AB\)

c) \(OM = AB\) (cmt)

Mà \(EM = EO = \frac{1}{2}OM\); \(EA = EB = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra \(EO = EA = EM = EB\) (1)

Xét \(\Delta ABC\) cân ta có: \(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) và \(AB = AC\)

Mà \(EA = EB = \frac{1}{2}AB\); \(FA = FC = \frac{1}{2}AC\) (gt)

Suy ra \(AE = EB = FA = FM\) (2)

Xét \(\Delta BEM\) và \(\Delta CMF\) ta có:

\(BE = CF\) (cmt)

\(\widehat {{\rm{ABC}}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (cmt)

\(BM = CM\) (gt)

Suy ra \(\Delta BEM = \Delta CFM\) (c-g-c)

Suy ra \(EM = FM\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(AE = AF = FM = ME\)

Suy ra \(AEMF\) là hình thoi