Đề bài

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3})\).

a) Biểu diễn từng vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) theo ba vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \)

b) Tính các tích vô hướng \({\overrightarrow i ^2},{\overrightarrow j ^2},{\overrightarrow k ^2}\), \(\overrightarrow i .\overrightarrow j \), \(\overrightarrow j .\overrightarrow k \), \(\overrightarrow k .\overrightarrow i \)

c) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) theo toạ độ của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).

 

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3}) = {a_1}(1;0;0) + {a_2}(0;0;1) + {a_3}(0;0;1) = {a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k \)

\(\overrightarrow b  = ({b_1};{b_2};{b_3}) = {b_1}(1;0;0) + {b_2}(0;0;1) + {b_3}(0;0;1) = {b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k \)

b) \({\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\({\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k  = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow j .\overrightarrow k  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

\(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0\)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = ({a_1}\overrightarrow i  + {a_2}\overrightarrow j  + {a_3}\overrightarrow k ) . ({b_1}\overrightarrow i  + {b_2}\overrightarrow j  + {b_3}\overrightarrow k )\)

\( = {a_1}{b_1}{\overrightarrow i ^2} + {a_1}{b_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_1}{b_3}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_2}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {a_2}{b_2}{\overrightarrow j ^2} + {a_2}{b_3}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_1}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {a_3}{b_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {a_3}{b_3}{\overrightarrow k ^2}\)

\( = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}\)