Đề bài

Xét các phân thức \(P = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}\), \(Q = \dfrac{x}{y}\), \(R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}}\) .

a) Các phân thức trên có bằng nhau không? Tại sao?

b) Có thể biến đổi như thế nào nếu chuyển \(Q\) thành \(P\) và \(R\) thành \(Q\).

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức: \(\dfrac{A}{B}\) \( = \dfrac{C}{D}\)  nếu \(AD = BC\) để kiểm tra xem các phân thức trên có bằng nhau hay không?

b) Nhân hoặc cả tử và mẫu của đa thức \(Q\) cho \(xy\); chia cả tử và mẫu của đa thức của \(R\) cho \(x + y\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

\({x^2}y.y = {x^2}{y^2}\)

\(x{y^2}.x = {x^2}{y^2}\)

Do đó\({x^2}y.y = x{y^2}.x\)

Vậy \(P = Q\) (1)

Ta có:

\(x.\left( {xy + {y^2}} \right) = {x^2}y + x{y^2}\)

\(y.\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^2}y + x{y^2}\)

Do đó \(x.\left( {xy + {y^2}} \right) = y.\left( {{x^2} + xy} \right)\)

Vậy \(Q = R\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(P = Q = R\)

b) Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(Q\) với \(xy\) để chuyển \(Q\) thành \(P\), ta được: \(Q = \dfrac{x}{y} = \dfrac{{x.xy}}{{y.xy}} = \dfrac{{{x^2}y}}{{x{y^2}}}\)

Phân thức cả tử và mẫu của phân thức \(R\) thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu của phân thức \(R\) cho nhân tử chung \(x + y\) để chuyển \(R\) thành \(Q\), ta được: \(R = \dfrac{{{x^2} + xy}}{{xy + {y^2}}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}}{{y.\left( {x + y} \right):\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{x}{y}\)