a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở Ví dụ 4 sau khi đã loại bỏ các giá trị ngoại lệ. Em có nhận xét gì về khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị vừa tìm được và khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị ban đầu?
Hằng ngày ông Thắng đều đi xe buýt từ nhà đến cơ quan. Dưới đây là bảng thống kê thời gian của 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan.
b) Hãy so sánh độ phân tán của nửa giữa hai mẫu số liệu chiều cao của các học sinh nữ lớp 12C và 12D ở Thực hành 1.
a) Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\)
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu của mẫu số liệu.
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
b) Tìm khoảng tứ phân vị của 2 nhóm số liệu rồi so sánh
a) Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 100 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm.
Khoảng biến thiên R = 33 – 15 = 18 (phút).
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{22}} \in [15;18)\); \({x_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{60}} \in [18;21)\); \({x_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{87}} \in [21;24)\); \({x_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{95}} \in [24;27)\);\({x_{96}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{99}} \in [27;30)\);\({x_{100}} \in [30;33)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [18;21)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}(21 - 18) = \frac{{693}}{{38}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [21;24)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 21 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (22 + 38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{68}}{3}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{505}}{{114}}\).
Giá trị x trong mẫu số liệu là giá trị ngoại lệ nếu \(x > {Q_3} + 1,5{\Delta _Q}\) hoặc \(x < {Q_1} - 1,5{\Delta _Q}\).
Hay \(x > \frac{{68}}{3} + 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 29,31\) hoặc \(x < \frac{{693}}{{38}} - 1,5.\frac{{505}}{{114}} = 11,59\).
Do đó, chỉ có đúng 1 lần ông Thắng đi hết 32 phút là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ: 30 – 15 = 15 (phút).
Gọi \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}}\) là mẫu số liệu gốc gồm thời gian 99 lần ông Thắng đi xe buýt từ nhà đến cơ quan được xếp theo thứ tự không giảm, sau khi đã loại bỏ giá trị ngoại lệ.
Ta có: \({z_1};{\rm{ }}{z_2}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{22}} \in [15;18)\); \({z_{23}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{60}} \in [18;21); {z_{61}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{87}} \in [21;24); {z_{88}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{95}} \in [24;27); {z_{95}}; \ldots ;{\rm{ }}{z_{99}} \in [27;30) \).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}'' = 18 + \frac{{\frac{{99}}{4}}-22}{{38}}(21 - 18) = \frac{{2769}}{{152}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}'' = 21 + \frac{{\frac{{3.99}}{4} - (22+38)}}{{27}}(24 - 21) = \frac{{271}}{{12}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}'' = {Q_3}'' - {Q_1}'' = \frac{{1991}}{{456}}\).
Nhận xét: Sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, khoảng biến thiên mới giảm mạnh còn khoảng tứ phân vị mới không bị ảnh hưởng nhiều.
b) Cỡ mẫu \(n = 25\).
Gọi \({x_1};{\rm{ }}{x_2}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12C được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};{\rm{ }}{x_2} \in [155;160)\); \({x_3}; \ldots ;{\rm{ }}{x_9} \in [160;165)\);\({x_{10}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{21}} \in [165;170)\);\({x_{22}}; \ldots ;{\rm{ }}{x_{24}} \in [170;175)\);\({x_{25}} \in [180;185)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_6} + {x_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 2}}{7}(165 - 160) = \frac{{4565}}{{28}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({x_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (2 + 7)}}{{12}}(170 - 165) = \frac{{2705}}{{16}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{675}}{{112}}\).
Gọi \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{25}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({y_1};{\rm{ }}{y_2}; \ldots ;{\rm{ }}{y_5} \in [155;160)\); \({y_6}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{14}} \in [160;165)\);\({y_{15}}; \ldots ;{\rm{ }}{y_{22}} \in [165;170)\);\({y_{23}};{\rm{ }}{{\rm{y}}_{24}} \in [170;175)\);\({y_{25}} \in [175;180)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({y_6} + {y_7}) \in [160;165)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1}' = 160 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 5}}{9}(165 - 160) = \frac{{5785}}{{36}}\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \({y_{19}} \in [165;170)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3}' = 165 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (5 + 9)}}{8}(170 - 165) = \frac{{5375}}{{32}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q}' = {Q_3}' - {Q_1}' = \frac{{2095}}{{288}}\).
Có \({\Delta _Q}' > {\Delta _Q}\) nên chiều cao của các bạn học sinh nữ lớp 12D có độ phân tán lơn hơn lớp 12C.
a) Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị cho các mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của học sinh lớp 12A, 12B.
Danh sách bình luận