Đề bài

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải

Tìm hệ thức liên hệ giữa các cạnh, từ đó suy ra hàm số của diện tích tam giác vuông. Sau đó tìm đạo hàm, lập bảng biến thiên và xác định giá trị lớn nhất của hàm số

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt một cạnh góc vuông là x (x > 0) thì cạnh còn lại là \(\sqrt {25 - {x^2}} \).

Diện tích tam giác vuông là: \(f(x) = \frac{{1}}{2} x\sqrt {25 - {x^2}} \).

Tập xác định: \(D = (0; 5 )\).

\(f'(x) = \frac{{1}}{2}\sqrt {25 - {x^2}}  - \frac{{1}}{2}. \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).

Tập xác định mới: \({D_1} = (0; 5 )\).

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\\x =  - \frac{{5\sqrt {2} }}{2}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_D f(x) = f(\frac{{5\sqrt {2} }}{2}) = \frac{25}{4}\).

Vậy diện tích lớn nhất của tam giác là \(\frac{25}{4}\).