Đề bài

Cho tứ giác ABCD, gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) Chứng minh EK // CD, FK // AB.

b) So sánh EF và \(\dfrac{1}{2}(AB + C{\rm{D}})\)

Phương pháp giải

a. Chứng minh EK là đường trung bình của tam giác ACD; FK là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra EK // CD, FK // AB.

b. Áp dụng tính chất đường trung bình với EK và Fk trong tam giác ACD, ABC. Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác KEF, suy ra đpcm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì E, K lần lượt là trung điểm của AD, AC nên EK là đường trung bình của tam giác ACD suy ra EK // CD.

Vì K, F lần lượt là trung điểm của AC, BC nên KF là đường trung bình của tam giác ABC suy ra KF // AB.

Vậy EK // CD, FK // AB.

b) Vì EK là đường trung bình của tam giác ACD nên \(EK = \dfrac{1}{2}C{\rm{D}}\);

Vì KF là đường trung bình của tam giác ABC nên \(KF = \dfrac{1}{2}AB\).

Do đó \(EK + KF = \dfrac{1}{2}(AB + C{\rm{D}})\)           (1)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác KEF, ta có: \(EF \le EK + KF\)          (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(EF \le \dfrac{1}{2}(AB + C{\rm{D}})\).