Đề bài

Ở nhiệt độ $37^\circ C$ , một phản ứng hóa học từ chất đầu A, chuyển hóa thành sản phẩm B theo phương trình: $A \to B$ . Giả sử y(x) là nồng độ chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$ ) tại thời gian x (giây), y(x) > 0 với $x \ge 0$ , thỏa mãn hệ thức $y'(x) = - {7.10^{ - 4}}y(x)$ với $x \ge 0$ . Biết rằng tại x = 0, nồng độ (đầu) của A là 0,05 mol ${L^{ - 1}}$ .

a) Xét hàm số $f(x) = \ln y(x)$ với $x \ge 0$ . Hãy tính f’(x), từ đó hãy tìm hàm số f(x).

b) Giả sử tính nồng độ trung bình chất A (đơn vị mol ${L^{ - 1}}$ ) từ thời điểm a(giây) đến thời điểm b(giây) với 0 < a < b theo công thức $\frac{1}{{b - a}}\int\limits_a^b {y(x)dx}$ . Xác định nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây.

Phương pháp giải

a) Biến đổi hàm số cho thích hợp

b) Xác định hàm số y(x) rồi tính tích phân

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) $f(x) = \ln y(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{{y'(x)}}{{y(x)}} = \frac{{ - {{7.10}^{ - 4}}y(x)}}{{y(x)}} = - {7.10^{ - 4}}$ .

$\Rightarrow f(x) = \int {f'(x)dx} = \int { - {{7.10}^{ - 4}}dx} = - {7.10^{ - 4}}x + C$ .

Vì $f(x) = \ln y(x)$ nên $y(x) = {e^{f(x)}} = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + C}}$ .

Theo đề bài, tại x = 0 thì y(x) = 0,05 nên:

$y(0) = 0,05 \Leftrightarrow {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.0 + C}} = 0,05 \Leftrightarrow {e^C} = 0,05 \Leftrightarrow C = \ln 0,05$ .

Vậy $f(x) = - {7.10^{ - 4}}x + \ln 0,05$ .

b) Từ câu a) ta đã tính được $y(x) = {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}$ .

Nồng độ trung bình của chất A từ thời điểm 15 giây đến thời điểm 30 giây:

$\frac{1}{{30 - 15}}\int\limits_{15}^{30} {y(x)dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x + \ln 0,05}}dx} = \frac{1}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}{e^{\ln 0,05}}dx}$

$= \frac{{{e^{\ln 0,05}}}}{{15}}\int\limits_{15}^{30} {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}x}}dx} = \frac{1}{{300}}\int\limits_{15}^{30} {{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}dx} = \frac{1}{{300}}.\frac{{{{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)}^x}}}{{\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right.$

$= \frac{1}{{300\ln {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}}}.{\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}}}} \right)^x}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{30}\\{}\\{15}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \frac{{ - 100}}{{21}}\left( {{e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.30}} - {e^{ - {{7.10}^{ - 4}}.15}}} \right) \approx 0,049$ (mol ${L^{ - 1}}$ ).

Xem thêm : SGK Toán 12 - Cánh diều

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Tính tích phân $\int\limits_2^3 {\frac{1}{{{x^2}}}} dx$ có giá trị bằng:

A. $\frac{1}{6}$

B. $- \frac{1}{6}$

C. $\frac{{19}}{{648}}$

D. $- \frac{{19}}{{648}}$

Xem lời giải >>

Tích phân $\int\limits_{\frac{\pi }{7}}^{\frac{\pi }{5}} {\sin xdx}$ có giá trị bằng:

Xem lời giải >>

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{{{3^x}}}{2}dx}$ có giá trị bằng:

A. $- \frac{1}{{\ln 3}}$

B. $\frac{1}{{\ln 3}}$

C. -1

D. 1

Xem lời giải >>

Tính:

a) $\int\limits_0^1 {({x^6} - 4{x^3} + 3{x^2})dx}$

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{{x^4}}}dx}$

c) $\int\limits_1^4 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx}$

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {(4\sin x + 3\cos x)dx}$

e) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {{{\cot }^2}xdx}$

g) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx}$

h) $\int\limits_{ - 1}^0 {{e^{ - x}}dx}$

i) $\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {{e^{x + 2}}dx}$

k) $\int\limits_0^1 {({{3.4}^x} - 5{e^{ - x}})dx}$

Xem lời giải >>

a) Cho một vật chuyển động với vận tốc y = v(t) (m/s). Cho 0 < a < b và v(t) > 0 với mọi $t \in [a;b]$ . Hãy giải thích vì sao $\int\limits_a^b {v(t)dt}$ biểu thị quãng đường mà vật đi được trong khoảng thời gian từ a đến b (a,b tính theo giây).

b) Áp dụng công thức ở câu a) để giải bài toán sau: một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 2 – sint (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm $t = \frac{{3\pi }}{4}$ (s).

Xem lời giải >>

Một vật chuyển động với vận tốc được cho bởi đồ thị ở Hình 9.

a) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 1 giây đầu tiên

b) Tính quãng đường mà vật di chuyển được trong 2 giây đầu tiên

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^2 {{x^4}dx}$

b) $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\sqrt x }}dx}$

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$

d) $\int\limits_0^2 {{3^x}dx}$

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}dx}$ ;

b) $\int\limits_1^4 {\frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^2 {\left| {2x - 1} \right|dx}$ ;

b) $\int\limits_{ - 2}^3 {\left| {x - 1} \right|dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx}$ ;

b) $\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} - 2{e^x}} \right)dx}$ ;

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} - 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}dx}$ .

Xem lời giải >>

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {\sin xdx} = \sin a - \sin b$ .

B. $\int\limits_a^b {\sin xdx} = \sin b - \sin a$ .

C. $\int\limits_a^b {\sin xdx} = \cos a - \cos b$ .

D. $\int\limits_a^b {\sin xdx} = \cos b - \cos a$ .

Xem lời giải >>

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ .

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \cot a - \cot b$ .

B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \cot b - \cot a$ .

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan a - \tan b$ .

D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \tan b - \tan a$ .

Xem lời giải >>

Tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{{ - 3}}{{{x^3}}}dx}$ có giá trị bằng:

A. $\frac{9}{8}$ .

B. $- \frac{{45}}{{64}}$ .

C. $\frac{{15}}{8}$ .

D. $- \frac{9}{8}$ .

Xem lời giải >>

Tích phân $\int\limits_1^2 {\frac{1}{{x\sqrt x }}dx}$ có giá trị bằng:

A. $2 - \sqrt 2$ .

B. $2 + \sqrt 2$ .

C. $\frac{{ - \sqrt 2 + 8}}{{20}}$ .\

D. $\frac{{ - \sqrt 2 - 8}}{{20}}$ .

Xem lời giải >>

Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {\cos xdx} = \sin a - \sin b$ .

B. $\int\limits_a^b {\cos xdx} = \sin b - \sin a$ .

C. $\int\limits_a^b {\cos xdx} = \cos a - \cos b$ .

D. $\int\limits_a^b {\cos xdx} = \cos b - \cos a$ .

Xem lời giải >>

Phát biểu nào sau đây là đúng? Biết $f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ .

A. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \cot a - \cot b$ .

B. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \cot b - \cot a$ .

C. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan a - \tan b$ .

D. $\int\limits_a^b {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} = \tan b - \tan a$ .

Xem lời giải >>

Cho $m$ thoả mãn $m > 0,m \ne 1$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_a^b {{m^x}dx} = {m^b} - {m^a}$ .

B. $\int\limits_a^b {{m^x}dx} = {m^a} - {m^b}$ .

C. $\int\limits_a^b {{m^x}dx} = \frac{{{m^b}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^a}}}{{\ln m}}$ .

D. $\int\limits_a^b {{m^x}dx} = \frac{{{m^a}}}{{\ln m}} - \frac{{{m^b}}}{{\ln m}}$ .

Xem lời giải >>

Tính:

a) $\int\limits_0^1 { - 2dx}$ ;

b) $\int\limits_0^1 {\frac{{2x}}{3}dx}$ ;

c) $\int\limits_0^1 {{x^4}dx}$ ;

d) $\int\limits_1^3 {2\sqrt[3]{x}dx}$ ;

e) $\int\limits_1^2 {\frac{2}{{3x}}dx}$ ;

g) $\int\limits_1^9 {\left( {x\sqrt x - 2} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính:

a) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ ;

b) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\cos xdx}$ ;

c) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}$ ;

d) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx}$ ;

e) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x - 2} \right)dx}$ ;

g) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {3\cos x + 2} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính:

a) $\int\limits_0^2 {{e^{ - 5{\rm{x}}}}dx}$ ;

b) $\int\limits_0^1 {{3^{x + 2}}dx}$ ;

c) $\int\limits_{ - 1}^1 {{3^{2{\rm{x}}}}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^2 {\left( {3x - 2} \right)\left( {3x + 2} \right)dx}$ ;

b) $\int\limits_1^2 {{t^2}\left( {5{t^2} - 2} \right)dt}$ ;

c) $\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 4} \right)dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{1 - 2{\rm{x}}}}{{{x^2}}}dx}$ ;

b) $\int\limits_1^2 {{{\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)}^2}dx}$ ;

c) $\int\limits_1^4 {\frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_1^3 {{e^{x - 2}}dx}$ ;

b) $\int\limits_0^1 {{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}dx}$ ;

c) $\int\limits_0^1 {\frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} + 1}}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^\pi {\left( {2\cos x + 1} \right)dx}$ ;

b) $\int\limits_0^\pi {\left( {1 + \cot x} \right)\sin xdx}$ ;

c) $\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}xdx}$ .

Xem lời giải >>

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt x - 1}}{x},x > 0$ . Tính giá trị của $f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right)$ .

Xem lời giải >>

Tìm đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = \sqrt {4x + 1}$ . Từ đó, tính tích phân $\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {4x + 1} }}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx}$ ;

b) $\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx}$ ;

c) $\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx}$ ;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx}$ .

Xem lời giải >>

Tính

a) $\int\limits_1^3 {{x^3}dx;}$

b) $\int\limits_0^\pi {\cos udu.}$

Xem lời giải >>

a) Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $[ - 1;5]$ và $\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12$ . Tính $\int_{ - 1}^5 f (x)dx$ .

b) Cho $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.$ . Tính $\int_{ - 2}^1 f (x)dx$ .

Xem lời giải >>