Đề bài

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C.

• A. Điểm G nằm ngoài đường tròn, điểm A nằm trong đường tròn.
• B. Điểm G nằm trong đường tròn, điểm A nằm ngoài đường tròn.
• C. Điểm G và điểm A nằm trong đường tròn.       
• D. Điểm G và điểm A nằm ngoài đường tròn.

Phương pháp giải

Chứng minh \(BD = ND = MN = CD\) nên B, N, M, C thuộc đường tròn tâm D bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

Tính độ dài DG, DA, so sánh với \(\frac{{BC}}{2}\) để xác định vị trí tương đối của G, A với đường tròn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(BM\) và \(CN\) là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {BMC} = \widehat {BNC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BMC\) và \(\Delta BNC\) vuông tại M và N.

\(\Delta BMC\) và \(\Delta BNC\) có D là trung điểm của BC nên DM và DN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên \(MD = ND = BD = CD = \frac{{BC}}{2}\). Do đó đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C là đường tròn tâm D bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

Vì D là trung điểm của BC nên \(DC = BD = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Mà tam giác ABC đều nên AD đồng thời là đường cao của tam giác ABC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ADC, ta có: \(AD = \sqrt {A{C^2} - D{C^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Tam giác ABC là tam giác đều nên BM, CN, AD đều là đường trung tuyến, G là giao điểm của ba đường trung tuyến nên G là trọng tâm. Suy ra \(DG = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Ta có:

\(DG = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} < \frac{a}{2} = \frac{{BC}}{2}\) nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

\(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} > \frac{a}{2} = \frac{{BC}}{2}\) nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính \(\frac{{BC}}{2}\).

Đáp án B

Đáp án : B