Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(AC = 5\sqrt 3 cm\), \(AB + BC = 15cm\). Tính \(\tan \frac{B}{2}\).

• A. \(\sqrt 3 \).
• B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
• C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
• D. \(\frac{1}{2}\).

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Pythagore và hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) để tính độ dài hai cạnh còn lại.

Từ đó ta tính được số đo góc B.

Áp dụng tỉ số lượng giác để tính \(\tan \frac{B}{2}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

\(\begin{array}{l}B{C^2} - A{B^2} = A{C^2}\\\left( {BC - AB} \right)\left( {BC + AB} \right) = {\left( {5\sqrt 3 } \right)^2}\\\left( {BC - AB} \right).15 = 75\\BC - AC = 5\end{array}\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}BC + AB = 15\\BC - AB = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BC = 10\\AB = 5\end{array} \right.\)

Suy ra \(\sin B = \frac{{5\sqrt 3 }}{{10}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat B = 60^\circ \)

Từ đó ta có \(\tan \frac{B}{2} = \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án C

Đáp án : C