Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, ngang, xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{x}{{2 - x}}$                 

b) $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$             

c) $y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}$

Phương pháp giải

Đường thẳng $y = {y_o}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_o}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_o}$.

Đường thẳng $x = {x_o}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  + \infty$ ,$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ - } f\left( x \right) =  - \infty$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  + \infty$,$\mathop {\lim }\limits_{x \to x_o^ + } f\left( x \right) =  - \infty$.

Đưởng thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \frac{x}{{2 - x}} =  - 1$

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{2 - x}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{2 - x}} =  - \infty \end{array} \right.$

Vậy đường thẳng $y =  - 1$ và $x = 2$ lần lượt là đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  $y = \frac{x}{{2 - x}}$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} =  + \infty \end{array} \right.$

Mặt khác, $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = 2x - 1 + \frac{1}{{x - 1}}$

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {2x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{x - 1}} = 0$

Vậy đường thẳng $x = 1$ và đường thẳng $y = 2x - 1$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}$

c) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) =  + \infty \end{array} \right.$.

Xét $$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0$$

Vậy đường thẳng $x = 0$ và đường thẳng $y = x - 3$ lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = x - 3 + \frac{1}{{{x^2}}}$