Đề bài

a) Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trên tập $K \subset \mathbb{R}$, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

b) Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ có đồ thị như Hình 2.

- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đó.

- Xét dấu đạo hàm $f'\left( x \right) = 2x$.

- Nêu mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số $f\left( x \right) = {x^2}$ và dấu của đạo hàm $f'\left( x \right) = 2x$ trên mỗi khoảng $\left( { - \infty ;0} \right),\left( {0; + \infty } \right)$.

- Hoàn thành bảng biến thiên sau:

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập K

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Cho K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và $f\left( x \right)$ là hàm số xác định trên K.

- Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi ${x_1},{x_2}$ thuộc K và ${x_1} < {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$.

- Hàm số $f\left( x \right)$ được gọi là hàm số đồng biến trên K nếu với mọi ${x_1},{x_2}$ thuộc K và ${x_1} < {x_2}$ thì $f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)$.

- Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

b)

- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

- Đạo hàm $f'\left( x \right) = 2x$âm khi $x < 0$ và dương khi $x > 0$.

- Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2}$ nghịch biến khi $f'\left( x \right) = 2x$mang dấu âm và đồng biến khi $f'\left( x \right) = 2x$ mang dấu dương.

- Ta có bàng biến thiên sau: