Trong một túi có một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có 6 cái kẹo màu cam, còn lại là kẹo màu vàng. Hà lấy ngẫu nhiên một cái kẹo từ trong túi, không trả lại. Sau đó Hà lại lấy ngẫu nhiên thêm một cái kẹo khác từ trong túi. Biết rằng xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\). Hỏi ban đầu trong túi có bao nhiêu cái kẹo?
Sử dụng kiến thức về công thức nhân xác suất để tính: Với hai biến cố A, B bất kì ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)\).
Gọi số kẹo trong túi là n (cái, \(n \in \mathbb{N}*,n > 6\)), khi đó, số kẹo màu vàng trong túi là \(n - 6\) (cái).
Số cách chọn kẹo thứ nhất là n, số cách chọn kẹo thứ hai là \(n - 1\). Do đó, \(n\left( \Omega \right) = n\left( {n - 1} \right)\)
Gọi A là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ nhất màu cam”, B là biến cố: “Lấy được viên kẹo thứ hai màu cam”. Khi đó, biến cố AB “Lấy được hai viên kẹo màu cam”.
Xác suất của biến cố A là: \(P\left( A \right) = \frac{{6.\left( {n - 1} \right)}}{{n\left( {n - 1} \right)}} = \frac{6}{n}\).
Vì lấy ra một cái kẹo màu cam ở lần thứ nhất nên trong túi còn lại \(n - 1\) cái kẹo, trong đó có 5 cái kẹo màu cam. Do đó, \(P\left( {B|A} \right) = \frac{5}{{n - 1}}\).
Ta có: \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = \frac{6}{n}.\frac{5}{{n - 1}} = \frac{{30}}{{n\left( {n - 1} \right)}}\)
Vì xác suất Hà lấy được cả hai cái kẹo màu cam là \(\frac{1}{3}\) nên ta có:
\(\frac{1}{3} = \frac{{30}}{{n\left( {n - 1} \right)}} \Rightarrow {n^2} - n - 90 = 0 \Rightarrow \left( {n - 10} \right)\left( {n + 9} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 10\left( {tm} \right)\\n = - 9\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy trong túi có 10 cái kẹo.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sử dụng các lý thuyết cơ bản về xác suất và xác suất có điều kiện.
1. Xác suất có điều kiện:
Đây là xác suất xảy ra của một sự kiện B, khi biết rằng một sự kiện A đã xảy ra. Ký hiệu là P(B|A). Nó đo lường khả năng xảy ra của B dưới điều kiện của A. Ngược lại, P(A|B) là xác suất xảy ra của A khi biết B đã xảy ra.
Công thức: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ (với điều kiện P(B) > 0) và $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ (với điều kiện P(A) > 0).
2. Xác suất của biến cố giao (đồng thời xảy ra):
Đây là xác suất để hai sự kiện A và B cùng xảy ra. Ký hiệu là P(A ∩ B) hoặc P(AB).
3. Công thức nhân xác suất:
Công thức này liên hệ xác suất của biến cố giao với xác suất cơ bản và xác suất có điều kiện. Công thức như sau: P(A ∩ B) = P(A).P(B|A) Hoặc, một cách tương đương: P(A ∩ B) = P(B).P(A|B).
Danh sách bình luận