Đề bài

Tính và so sánh:

a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} \);

c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx} \).

 

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về định nghĩa tích phân để tính: Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số \(F\left( b \right) - F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx}  = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx}  = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx}  = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)

b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx}  = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)

Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_0^1 {xdx} \)

c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx}  = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)

Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx}  = \int\limits_0^1 {xdx}  + \int\limits_1^3 {xdx} \)