Đề bài

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng \(y = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = t\left( {1 \le t \le 4} \right)\) (H.4.3).

a) Tính diện tích S của T khi \(t = 4\).

b) Tính diện tích S(t) của T khi \(t \in \left[ {1;4} \right]\).

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]\) và diện tích \(S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)\).

 

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về diện tích hình thang để tính: Diện tích hình thang ABCD (AB//CD) là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).h}}{2}\) với h là chiều cao của hình thang.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với trục hoành; B, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với đường thẳng \(y = x + 1\).

Khi đó, \(A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {4;5} \right),D\left( {4;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2,CD = 5,AD = 3\)

Diện tích hình thang ABCD là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).3}}{2} = \frac{{21}}{2}\)

b) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với trục hoành, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với đường thẳng \(y = x + 1\).

Khi đó, \(A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {t;t + 1} \right),D\left( {t;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2,CD = t + 1,AD = t - 1\)

Diện tích hình thang ABCD là:

\(S\left( t \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + t + 1} \right).\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}\)

c) Ta có: \(S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}} \right)'} = \frac{1}{2}\left( {2t + 2} \right) = t + 1 = f\left( t \right)\)

Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]\).

Lại có: \(S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right) = \frac{{{4^2} + 2.4 - 3}}{2} - \frac{{{1^2} + 2.1 - 3}}{2} = \frac{{21}}{2} - 0 = \frac{{21}}{2}\)

Suy ra: \(S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)\).