Đề bài

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị \(y = {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\). Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi \(x \in \left[ {1;2} \right]\), gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

 

Cho \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\). So sánh hiệu \(S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)\) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra: \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\).

b) Cho \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\). Tương tự phần a, đánh giá hiệu \(S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right)\) và từ đó suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\).

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có

\(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\).

Từ đó chứng minh \(S'\left( x \right) = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)\). Người ta chứng minh được \(S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4\), tức là S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).

d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Sử dụng điều này với lưu ý \(S\left( 1 \right) = 0\) và diện tích cần tính \(S = S\left( 2 \right)\), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\). Hãy so sánh S và \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\).

 

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hình thang cong để tính: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\), trong đó f(x) là hàm liên tục không âm trên đoạn [a; b] gọi là một hình thang cong.

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Với \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le {S_{MNEF}}\)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \left( {x + h - x} \right){x^2} = h{x^2}\)

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: \({S_{MNEF}} = MN.NE = \left( {x + h - x} \right){\left( {x + h} \right)^2} = h{\left( {x + h} \right)^2}\)

Do đó, \(h{x^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le h{\left( {x + h} \right)^2}\). Vậy \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\)

b)

Với \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right) \le {S_{MNEF}}\)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ =  - h{\left( {x + h} \right)^2} > 0\)

Diện tích hình chữ nhật MNEF là: \({S_{MNEF}} = MN.NE =  - h{x^2}\)

Do đó, \( - h{\left( {x + h} \right)^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le  - h{x^2}\)

Vậy \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\)  (do \(h < 0\) nên \( - h > 0\))

c) Từ phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có: \(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\)

Do đó, \(S'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)\). Suy ra, \(S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4\).

Do đó, S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).

d) Theo c ta có: \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\), \(S\left( 1 \right) = 0\)  nên \(\frac{1}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{ - 1}}{3}\).

Do đó, \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}\)

Diện tích cần tính là: \(S = S\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)

Vì F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C,C \in \mathbb{R}\)

Ta có: \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} = S\). Do đó, \(S = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)