Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Sử dụng kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng để chứng minh: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M tùy ý ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = 2\overrightarrow {MI} \).

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để chứng minh: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AC'} \)

b) Sử dụng kiến thức về 2 vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên \(\overrightarrow {A'G}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).

Vì I là trung điểm BD nên \(\overrightarrow {A'I}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B}  + \overrightarrow {A'D} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A}  + \overrightarrow {A'B'}  + \overrightarrow {A'D'}  + \overrightarrow {A'A} } \right) =  - \overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Do đó, \(\overrightarrow {A'G}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AG}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'G}  = \overrightarrow {AA'}  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AC'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Do đó, \(\overrightarrow {AC'}  = 3\overrightarrow {AG} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {AG} \) cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.