Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\).

a) Giải thích vì sao \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = 1\) và \(\overrightarrow i .\overrightarrow j  = \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\).

b) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow a  = x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow i ;\overrightarrow a .\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow a .\overrightarrow k \).

c) Sử dụng biểu diễn \(\overrightarrow b  = x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k \) để tính các tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \).

 

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là một số, kí hiệu là \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b \), được xác định bởi công thức sau: \(\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\).

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) đều khác \(\overrightarrow 0 \). Khi đó, \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = 0\)

 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: \(\overrightarrow i .\overrightarrow i  = \left| {\overrightarrow i } \right|.\left| {\overrightarrow i } \right|.\cos {0^0} = {\left| {\overrightarrow i } \right|^2} = 1\)

Vì \(\overrightarrow i  \bot \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow i  \bot \overrightarrow k  \Rightarrow \overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0\)

b) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow i  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow i  = x.{\overrightarrow i ^2} + y\overrightarrow {.j} .\overrightarrow i  + z.\overrightarrow k .\overrightarrow i  = x\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow j  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right)\overrightarrow j  = x\overrightarrow i .\overrightarrow j  + y{\overrightarrow j ^2} + z\overrightarrow k .\overrightarrow j  = y\)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow k  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\overrightarrow k  = x\overrightarrow i .\overrightarrow k  + y\overrightarrow j .\overrightarrow k  + z.{\overrightarrow k ^2} = z\)

c) Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left( {x\overrightarrow i  + y\overrightarrow j  + z\overrightarrow k } \right).\left( {x'\overrightarrow i  + y'\overrightarrow j  + z'\overrightarrow k } \right)\)

\( = xx'{\overrightarrow i ^2} + xy'.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + xz'\overrightarrow i .\overrightarrow k  + x'y.\overrightarrow i .\overrightarrow j  + yy'.{\overrightarrow j ^2} + yz'\overrightarrow j .\overrightarrow k  + zx'.\overrightarrow k .\overrightarrow i  + zy'.\overrightarrow k \overrightarrow j  + zz'{\overrightarrow k ^2}\)

Mà \(\overrightarrow i .\overrightarrow k  = 0;\overrightarrow i .\overrightarrow j  = 0;\overrightarrow j .\overrightarrow k  = 0\) nên: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = xx' + yy' + zz'\)