Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh đáy bằng 1 và độ dài mỗi cạnh bên bằng 2. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây và tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) $\overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {C'C;}$
b) $\overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {BC;}$
c) $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {B'A'}$.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$. Lấy một điểm O bất kì và gọi A, B là hai điểm sao cho$\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b$. Khi đó, góc $\widehat {AOB}\left( {{0^0} \le \widehat {AOB} \le {{180}^0}} \right)$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$, kí hiệu là $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác $\overrightarrow 0$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b$, được xác định bởi công thức sau: $\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì AA’//CC’ nên hai vectơ $\overrightarrow {AA'}$ và $\overrightarrow {C'C}$ ngược hướng nhau.

Suy ra, $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = {180^0}$.

Do đó, $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {C'C}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {C'C} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {C'C} } \right) = 2.2.\cos {180^0} =  - 4$

b) Vì A’ADD’ là hình chữ nhật nên $\widehat {A'AD} = {90^0}$

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD}$. Do đó, $\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {A'AD} = {90^0}$

Ta có: $\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AD}  = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AD} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 2.1.\cos {90^0} = 0$

c) Vì A’ABB’ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {BA}$.

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat {CAB} = {45^0}$ và $AC = \sqrt 2$

Ta có: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'A'}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  =  - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right) = - \left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( \widehat {CAB} \right) =- \sqrt 2 .1.\cos {45^0} =  - 1$