Đề bài

Dựng đường phân giác góc xOy:

• Vẽ đường tròn (O) cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B;

• Vẽ hai đường tròn tâm A và B có cùng bán kính cắt nhau tại điểm C khác điểm O. Khi đó, OC là tia phân giác của góc xOy.

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB: Vẽ hai đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính lớn hơn \(\frac{1}{2}AB\) cắt nhau tại hai điểm M, N. Khi đó MN là đường trung trực của AB.

Dựng đường thẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d:

• Vẽ đường tròn tâm A cắt d tại hai điểm B và C;

• Vẽ hai đường tròn tâm B và C có cùng bán kính cắt nhau tại điểm D khác A. Khi đó AD là đường thẳng cần dựng.

Vì sao các cách dựng trên cho ta đường phân giác, đường trung trực và đường thẳng vuông góc cần dựng?

Phương pháp giải

+ Chứng minh cách dựng đường phân giác: Chứng minh \(\Delta BOC = \Delta AOC\left( {c.c.c} \right)\), suy ra \(\widehat {BOC} = \widehat {AOC}\) nên OC là tia phân giác của góc xOy.

+ Chứng minh đường trung trực: Chứng minh \(MA = MB,NA = NB\) nên M, N thuộc đường trung trực của AB, do đó, MN là đường trung trực của AB.

+ Chứng minh đường thẳng vuông góc: Chứng minh \(AB = AC,BD = DC\) nên A, D thuộc đường trung trực của BC. Do đó, AD là đường trung trực của BC nên AD vuông góc với BC.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+ Chứng minh cách dựng đường phân giác:

Vì B, A thuộc (O) nên \(OA = OB\).

Vì đường tròn tâm A và B có cùng bán kính và cắt nhau tại C nên \(CB = CA\).

\(\Delta \)BOC và \(\Delta \)AOC có: \(OA = OB\), \(CB = CA\), OC chung nên \(\Delta BOC = \Delta AOC\left( {c.c.c} \right)\), do đó, \(\widehat {BOC} = \widehat {AOC}\) nên OC là tia phân giác của góc xOy.

+ Chứng minh đường trung trực: Vì hai đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính và cắt nhau tại M và N nên \(MA = MB,NA = NB\). Do đó, hai điểm M, N thuộc đường trung trực của AB, do đó, MN là đường trung trực của AB.

+ Chứng minh đường thẳng vuông góc:

Vì B, C thuộc (A) nên \(AB = AC\), suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Vì hai đường tròn tâm B và C có cùng bán kính cắt nhau tại điểm D khác A nên \(BD = DC\), suy ra D thuộc đường trung trực của BC.

Vậy AD là đường trung trực của BC. Do đó, đường thẳng AD vuông góc với BC.