Đề bài

Trong Hình 5.54, chiếc quạt có dạng một hình quạt tròn tâm O cung AB, bán kính \(OA = OB = 20cm\). Giấy được dán trong phần giới hạn bởi cung AB, cung CD, đoạn thẳng AC và BD với \(OC = OD = 10cm\). Biết khi mở rộng tối đa, hai nan quạt ngoài cùng tạo thành một góc \(\widehat {AOB} = {140^o}\). Tính chu vi và diện tích mảnh giấy để dán một mặt quạt (diện tích mép không đáng kể).

Phương pháp giải

Công thức tính độ dài cung \({n^o}\) của đường tròn bán kính R: \(l = \frac{{\pi Rn}}{{180}}\).

Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung \({n^o}\): \({S_q} = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(BD = AC = OB - OD = 20 - 10 = 10cm\).

Diện tích hình quạt tâm O, cung AB là:

\({S_{AOB}} = \frac{{\pi {{.20}^2}.140}}{{360}} = \frac{{1400}}{9}\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hình quạt tâm O, cung CD là:

\({S_{COD}} = \frac{{\pi {{.10}^2}.140}}{{360}} = \frac{{350}}{9}\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích mảnh giấy để dán một mặt quạt là:

\(S = {S_{AOB}} - {S_{COD}} = \frac{{1400}}{9}\pi  - \frac{{350}}{9}\pi  = \frac{{350}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

Độ dài cung AB là:

\({l_{AB}} = \frac{{\pi .20.140}}{{180}} = \frac{{140}}{9}\pi \left( {cm} \right)\).

Độ dài cung CD là:

\({l_{CD}} = \frac{{\pi .10.140}}{{180}} = \frac{{70}}{9}\pi \left( {cm} \right)\).

Chu vi mảnh giấy để dán một mặt quạt là:

\(AC + BD + {l_{AB}} + {l_{CD}} = 10 + 10 + \frac{{140\pi }}{9} + \frac{{70\pi }}{9} = 20 + \frac{{70\pi }}{3}\left( {cm} \right)\)