Đề bài

Tìm các tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau:
a) $y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}$;
b) $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}$.

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận ngang: Đường thẳng $y = {y_0}$ gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = {y_0}$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = {y_0}$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số để tìm tiệm cận đứng: Đường thẳng $x = {x_0}$ gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) =  + \infty$

Sử dụng kiến thức về khái niệm đường tiệm cận xiên để tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$ hoặc $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {ax + b} \right)} \right] = 0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} =  + \infty$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}$ là đường thẳng $x =  - 1$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x + 1}} = 3$ nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}$ đường thẳng $y = 3$.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  - \infty$

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}$ là đường thẳng $x = \frac{1}{2}$.

Ta có: $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} = \frac{x}{2} + \frac{5}{4} + \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}}$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - \left( {\frac{x}{2} + \frac{5}{4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{{4\left( {2x - 1} \right)}} = 0$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}$ là đường thẳng $y = \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  - \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}} =  + \infty$ nên đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{{2x - 1}}$ không có tiệm cận ngang.