Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?
Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tìm doanh thu lớn nhất:
Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.
Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.
Gọi x là số lần tăng giá 100 nghìn đồng (\(x > 0\)).
Khi đó, số căn được cho thuê là: \(100 - x\) (căn)
Tổng số tiền thu được trong một tháng là:
\(\left( {100 - x} \right)\left( {8\;000\;000 + 100\;000x} \right) = 100\;000\left( {100 - x} \right)\left( {80 + x} \right) = 100\;000\left( { - {x^2} + 20x + 8\;000} \right)\)
\( = 100\;000\left[ { - {{\left( {x - 10} \right)}^2} + 8\;100} \right] \le 810\;000\;000\) với mọi \(x > 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 10\) (thỏa mãn)
Vậy để thu được doanh thu là lớn nhất thì người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là: \(8\;000\;000 + 100\;000.10 = 9\;000\;000\) (đồng).
Lý thuyết được ứng dụng:
1. Mô hình hóa bài toán:
Biểu diễn các đại lượng thay đổi trong bài toán dưới dạng biến số và thiết lập mối quan hệ giữa chúng. Cụ thể, doanh thu cần tối đa hóa sẽ được biểu diễn như một hàm phụ thuộc vào biến số thay đổi (ở đây là số lần tăng giá).
2. Hàm số bậc hai:
Mối quan hệ giữa doanh thu và số lần tăng giá dẫn đến một hàm số bậc hai. Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Nếu hệ số của nhỏ hơn 0, parabol có bề lõm hướng xuống dưới, và giá trị lớn nhất của hàm số nằm tại đỉnh của parabol.
3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số bậc hai, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như:
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol: Đối với hàm số $y = ax^2 + bx + c$, đỉnh có tọa độ $\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$. Giá trị cực đại (nếu a < 0) xảy ra tại $x = -\frac{b}{2a}$.
- Đưa về dạng bình phương: Biến đổi hàm số về dạng $y = a(x-h)^2 + k$. Nếu a < 0, giá trị lớn nhất của hàm số là k, đạt được khi x = h.
- Sử dụng đạo hàm: Đối với hàm số Q(x), giá trị cực đại (nếu có) thường xảy ra tại các điểm mà đạo hàm Q'(x) bằng 0.
Danh sách bình luận