Đề bài

Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về cách giải bài toán tối ưu hóa đơn giản để tính:

Bước 1: Xác định đại lượng Q mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là x, và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo x. Khi đó, đại lượng Q sẽ là hàm số của một biến x. Tìm tập xác định của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\).

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số \(Q = Q\left( x \right)\) bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi độ dài đoạn CD là x (km \(0 < x < 8\))

Quãng đường AD dài: \(\sqrt {A{C^2} + D{C^2}}  = \sqrt {9 + {x^2}} \left( {km} \right)\)

Quãng đường BD dài \(8 - x\left( {km} \right)\)

Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là: \(\frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) (giờ)

Xét hàm số \(y = \frac{{\sqrt {9 + {x^2}} }}{6} + \frac{{8 - x}}{8}\) với \(0 < x < 8\)

Ta có: \(y' = \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{6\sqrt {9 + {x^2}} }} - \frac{1}{8} = 0 \Leftrightarrow 4x = 3\sqrt {9 + {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16{x^2} = 9\left( {9 + {x^2}} \right)\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{81}}{7}\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{\sqrt 7 }}\)

Bảng biến thiên:

Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm D cách C một khoảng bằng \(\frac{9}{{\sqrt 7 }}km\) thì đến B sớm nhất.