Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}$ có đồ thị (C) và đường thẳng $y = x - 1$ như Hình 1.24.

 

a) Với $x >  - 1$, xét điểm M (x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng $y = x - 1$. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi $x \to  + \infty$?

b) Chứng tỏ rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = 0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về giới hạn của hàm số để tính giới hạn.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Nhìn vào đồ thị ta thấy, khi $x \to  + \infty$ thì khoảng cách MH tiến tới 0.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 0$.

Tính chất này được thể hiện trong Hình 1.24 là: Khoảng cách từ điểm M của đồ thị hàm số (C) đến đường thẳng $y = x - 1$ tiến đến 0 khi $x \to  + \infty$.