Cho tam giác nhọn ABC có AD, BE, CF là đường cao và H là trực tâm. Chứng minh rằng
a) Tứ giác AEHF, BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp
b) DA là đường phân giác của góc FDE.
Đọc kĩ dữ kiện để vẽ hình
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \({180^o}\).
Áp dụng hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
a) Ta có \(\widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^o}\) (Do CF và BE là đường cao)
suy ra AEHF là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh tương tự BDHF và CDHE là các tứ giác nội tiếp
b) Theo phần a ta có BDHF nội tiếp nên \(\widehat {ABE} = \widehat {FDA}\)
DHEC nội tiếp nên \(\widehat {ADE} = \widehat {FCA}\).
Lại có \(\widehat {ABE} = \widehat {FCA}\) (cùng phụ \(\widehat {BAC}\))
Suy ra \(\widehat {FDA} = \widehat {ADE}\) hay AD là đường phân giác của góc FDE.
Các bài tập cùng chuyên đề
Em hãy đo các góc đối nhau A và C của tứ giác ABCD trong HĐ2 và tính tổng \(\widehat A + \widehat C\). So sánh kết quả của em với các bạn.
Cho tam giác ABC có các đường cao BE, CF. Biết rằng \(\widehat B = {60^o},\widehat C = {80^o}\).
a) Chứng tỏ rằng tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh BC.
b) Tính số đo của các góc BFE và CEF.
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\widehat A = {60^o},\widehat B = {80^o}\);
b) \(\widehat B = {70^o},\widehat C = {90^o}\);
c) \(\widehat C = {100^o},\widehat D = {60^o}\);
d) \(\widehat D = {110^o},\widehat A = {80^o}\).
Cho điểm I nằm ngoài đường tròn (O). Qua I kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt (O) tại bốn điểm A, B và C, D sao cho A nằm giữa B và I, C nằm giữa D và I. Chứng minh rằng \(\widehat {IBD} = \widehat {ICA},\widehat {IAC} = \widehat {IDB}\) và \(IA.IB = IC.ID\).
Cho hình thang ABCD (AB song song với CD) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng ABCD là hình thang cân.
Cho tam giác ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng BCEF, CAFD, ABDE là những tứ giác nội tiếp.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F như Hình 9.58. Biết \(\widehat {BEC} = {40^o}\) và \(\widehat {DFC} = {20^o}\), tính số đo các góc của tứ giác ABCD.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn có \(\widehat A - \widehat C = {100^o}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A. \(\widehat A = {80^o}\).
B. \(\widehat C = {80^o}\).
C. \(\widehat B + \widehat D = {100^o}\).
D. \(\widehat A = {140^o}\).
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) (Hình 4).
a) Chỉ ra các cung chắn bởi mỗi góc nội tiếp \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {DCB}\)
b) Tính tổng số đo của các cung vừa tìm được.
c) Nêu kết luận về tổng số đo của hai góc \(\widehat {DAB}\) và \(\widehat {DCB}\).
d) Có nhận xét gì về tổng số đo của hai góc đối diện còn lại của tứ giác ABCD?
Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác ABCD trong Hình 6.
Trong hình vẽ minh họa của học sinh có một tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (Hình 7). Cho biết \(\widehat {ABC}\) = 70o, \(\widehat {OCD}\) = 50o. Tìm góc \(\widehat {AOD}\).
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp. Hãy hoàn thành bảng sau vào vở.
Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ cát tuyến MBC và tiếp tuyến Mt tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là trung điểm của dây BC. Chứng minh AMIO là một tứ giác nội tiếp.
Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O; R) và \(\widehat M\) = 60o. Số đo góc của \(\widehat P\) là
A. 30o.
B. 120o.
C. 180o.
D. 90o.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết \(\widehat {DAO}\) = 50o, \(\widehat {OCD}\) = 30o (Hình 5). Số đo của \(\widehat {ABC}\) là
A. 80o.
B. 90o.
C. 100o.
D. 110o.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp có \(\widehat {ACD}\) = 60o. Khẳng định nào sau đây luôn đúng?
A. \(\widehat {ADC}\) = 60o.
B. \(\widehat {ADC}\) = 120o.
C. \(\widehat {ABD}\) = 60o.
D. \(\widehat {ABD}\) = 120o.
Trong Hình 22, cho biết \(\widehat {AOC} = \alpha.\)
Tính số đo của các cung và góc sau theo \( \alpha\).
a) \(\overset\frown{ADC},\widehat{ABC;}\)
b) \(\overset\frown{ADC},\widehat{ABC;}\)
c) \(\widehat{ADC}+\widehat{ABC.}\)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC và điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và C). Tính số đo góc BMC.
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\widehat A = 60^\circ ,\widehat B = 125^\circ .\)
b) \(\widehat B = 95^\circ ,\widehat C = 67^\circ .\)
c) \(\widehat C = 75^\circ ,\widehat D = 115^\circ .\)
d) \(\widehat D = 103^\circ ,\widehat A = 117^\circ .\)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) thỏa mãn \(\widehat {ABC} = 60^\circ ,\widehat {ACB} = 70^\circ .\) Giả sử D là điểm thuộc cung BC không chứa A (D khác B và C). Tính số đo góc BDC.
Cho hình thang ABCD (AB//CD) nội tiếp đường tròn. Chứng minh rằng hình thang ABCD là hình thang cân.
Cho tứ giác nội tiếp ABCD có tam giác ABC là tam giác nhọn. Hai đường cao AM, CN của tam giác ABC cắt nhau tại H (Hình 30). Chứng minh:
a) \(\widehat {MHN} + \widehat {ABC} = 180^\circ .\)
b) \(\widehat {AHC} = \widehat {ADC.}\)
c) \(\widehat {ADC} = \widehat {BAM} + 90^\circ .\)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có \(\widehat C = 80^\circ .\) Số đo góc A là:
A. \(80^\circ \)
B. \(160^\circ \)
C. \(40^\circ \)
D. \(100^\circ \)
Cho tứ giác ABCD và các điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và CD sao cho các tứ giác AMND, BMNC là các tứ giác nội tiếp. Chứng minh \(\widehat A + \widehat B = 180^\circ .\)
Trong Hình 7.17, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính số đo cung nhỏ BD, cung lớn BD, từ đó suy ra số đo góc C. Em có nhận xét gì về tổng hai góc A và C.
Tính số đo các góc B và C của tứ giác ABCD trong Hình 7.20. Biết tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Quay lại phần Khởi động, em hãy sử dụng kiến thức được học về tứ giác nội tiếp để giải thích vì sao không thể tìm được vị trí đặt lửa trại phù hợp.
Phần Khởi động: Bốn lớp 9A, 9B, 9C và 9D cùng đi cắm trại. Sử dụng giác kế, các bạn có thể đo được góc tạo bởi các vị trí cắm trại của bốn lớp và vẽ được sơ đồ cắm trại như Hình 7.11. Hỏi có thể tìm được một vị trí cách đều cả bốn trại để đặt lửa trại không?
Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có \(\widehat A = {83^o}\), \(\widehat B = {74^o}\). Tính số đo các góc còn lại của tứ giác ABCD.
Tính số đo các góc của tứ giác nội tiếp CDEF trong Hình 7.21
Trong Hình 7.22, ABCD là tứ giác nội tiếp. Tính số đo các góc x, y, z.
