Đề bài

Cho \(A = \dfrac{{1.3.5.7...39}}{{21.22.23...40}}\)  và \(B = \dfrac{{1.3.5...\left( {2n - 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)...2n}}\,\left( {n \in {N^*}} \right)\) . Chọn câu đúng.

• A. \(A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}};B = \dfrac{1}{{{2^n}}}\) 
• B. \(A = \dfrac{1}{{{2^{25}}}},B = \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}\)  
• C. \(A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}},B = \dfrac{1}{{{2^{2n}}}}\)
• D. \(A = \dfrac{1}{{{2^{21}}}},B = \dfrac{1}{{{2^{n + 1}}}}\)    

Phương pháp giải

Quan sát \(A\) và \(B\) ta thấy tử số của biểu thức đều thiếu thành phần tích các số chẵn \(2.4.6.....2n\) nên ta có thể thử:

- Nhân cả tử và mẫu của \(A\) với \(2.4.6.....40\)

- Nhân cả tử và mẫu của \(B\) với \(2.4.6.....2n\)

Sau đó rút gọn các biểu thức ta được kết quả cần tìm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+ Nhân cả tử và mẫu của \(A\) với \(2.4.6.....40\) ta được:

\(A = \dfrac{{\left( {1.3.....39} \right).\left( {2.4.....40} \right)}}{{\left( {2.4.6.....40} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}\)\( = \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.20} \right).\left( {21.22.....40} \right)}}\)

\( = \dfrac{{1.2.3.....39.40}}{{{2^{20}}.\left( {1.2.3.....20.21.22.....40} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{{2^{20}}}}\)

+ Nhân cả tử và mẫu của \(B\) với \(2.4.6.....2n\) ta được:

\(B = \dfrac{{\left( {1.3.....\left( {2n - 1} \right)} \right).\left( {2.4.....2n} \right)}}{{\left( {2.4.6.....2n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)\( = \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{\left( {2.1} \right).\left( {2.2} \right).\left( {2.3} \right).....\left( {2.n} \right).\left( {\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)

\( = \dfrac{{1.2.3.....\left( {2n - 1} \right).2n}}{{{2^n}.\left( {1.2.3.....n.\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right).....2n} \right)}}\)\( = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

Vậy \(A = \dfrac{1}{{{2^{20}}}},B = \dfrac{1}{{{2^n}}}\)

Đáp án : A